Chào các em học sinh yêu quý của cô!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập rất quen thuộc trong chương lượng giác lớp 9. Bài tập này giúp chúng ta củng cố lại kiến thức về các mối liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn.

Đề bài cho biết: tan alpha = 3. Yêu cầu chúng ta tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc alpha.

Để giải bài toán này, cô trò mình sẽ lần lượt đi qua các bước sau:

Bước 1: Xác định các tỉ số lượng giác cần tìm.

Chúng ta đã có tan alpha. Các tỉ số lượng giác còn lại của một góc nhọn alpha là: sin alpha, cos alpha, và cot alpha.

Bước 2: Sử dụng công thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác để tìm cot alpha.

Chúng ta biết rằng, với một góc nhọn alpha bất kỳ, ta có mối liên hệ sau:
\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \)

Từ công thức này, ta có thể suy ra:
\( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \)

Thay giá trị đã cho vào công thức:
\( \cot \alpha = \frac{1}{3} \)

Vậy, chúng ta đã tìm được tỉ số lượng giác cot alpha.

Bước 3: Sử dụng công thức liên hệ giữa sin alpha, cos alpha và tan alpha để tìm mối quan hệ.

Chúng ta có công thức:
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

Thay giá trị đã cho vào, ta được:
\( 3 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

Điều này có nghĩa là:
\( \sin \alpha = 3 \cos \alpha \) (1)

Bước 4: Sử dụng công thức Pitago trong lượng giác để tìm sin alpha và cos alpha.

Công thức Pitago trong lượng giác là một công cụ cực kỳ quan trọng, nó liên hệ giữa sin alpha và cos alpha của cùng một góc:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của sin alpha từ phương trình (1) vào công thức Pitago này:
\( (3 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

Giải phương trình này để tìm cos alpha:
\( 9 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( 10 \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \cos^2 \alpha = \frac{1}{10} \)

Vì alpha là một góc nhọn (trong chương này, chúng ta chỉ xét các góc nhọn từ 0 đến 90 độ), nên cos alpha sẽ luôn dương. Do đó, ta lấy căn bậc hai của cả hai vế:
\( \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)

Để mẫu số đẹp hơn, chúng ta có thể trục căn thức ở mẫu:
\( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \)

Vậy, chúng ta đã tìm được cos alpha.

Bước 5: Tìm sin alpha dựa trên giá trị của cos alpha đã tìm được.

Chúng ta quay lại phương trình (1):
\( \sin \alpha = 3 \cos \alpha \)

Thay giá trị của cos alpha vào:
\( \sin \alpha = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \)
\( \sin \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)

Vậy, chúng ta đã tìm được sin alpha.

Kết luận:

Sau khi thực hiện các bước trên, chúng ta đã tìm được đầy đủ các tỉ số lượng giác còn lại của góc alpha:
* \( \sin \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
* \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \)
* \( \cot \alpha = \frac{1}{3} \)

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các công thức cơ bản, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Quan trọng là chúng ta phải thật cẩn thận trong từng bước tính toán và nhớ các điều kiện của góc alpha để chọn dấu thích hợp khi lấy căn bậc hai.

Chúc các em học tốt! Hẹn gặp lại trong những bài học tiếp theo.