Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến lũy thừa và tính chia hết. Các em hãy mở Sách giáo khoa Toán lớp 6 trang 25 để theo dõi nhé.

Chúng ta có biểu thức: A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021.

Phần a) Rút gọn biểu thức A.

Để rút gọn biểu thức này, cô sẽ hướng dẫn các em một phương pháp rất hiệu quả, đó là nhân biểu thức A với 2 rồi lấy kết quả trừ đi A ban đầu.

Bước 1: Nhân A với 2.
Chúng ta có:
A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021
Nhân cả hai vế với 2:
2A = 2 * (1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021)
2A = 2*1 + 2*2 + 2*2^2 + 2*2^3 +…+ 2*2^2020 + 2*2^2021
Sử dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: \(a^m * a^n = a^{m+n}\)
Ta có: \(2*1 = 2^1\), \(2*2 = 2^2\), \(2*2^2 = 2^3\), \(2*2^3 = 2^4\), …, \(2*2^2020 = 2^{2021}\), \(2*2^2021 = 2^{2022}\).
Vậy, 2A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 +…+ 2^2021 + 2^2022

Bước 2: Lấy 2A trừ đi A.
Ta có:
2A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 +…+ 2^2021 + 2^2022
A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021

Lấy 2A – A:
2A – A = (2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2021 + 2^2022) – (1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021)

Khi thực hiện phép trừ, các số hạng giống nhau ở hai vế sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
2A – A = 2^2022 – 1

Vì 2A – A = A, nên ta có:
A = 2^2022 – 1

Vậy, biểu thức A đã được rút gọn thành \(2^{2022} – 1\).

Phần b) Chứng minh A chia hết cho 3; 7

Chúng ta sẽ chứng minh A chia hết cho 3 và A chia hết cho 7 dựa trên biểu thức rút gọn mà chúng ta vừa tìm được.

Chứng minh A chia hết cho 3:

Ta có A = 2^2022 – 1.
Để chứng minh A chia hết cho 3, chúng ta cần xem xét \(2^{2022}\) chia cho 3 dư bao nhiêu.
Ta biết rằng \(2^2 = 4\).
4 chia cho 3 dư 1. Hay \(2^2 \equiv 1 \pmod{3}\).

Bây giờ, chúng ta cần biến đổi số mũ 2022 sao cho xuất hiện số mũ 2.
2022 chia cho 2 được 1011.
Vậy, \(2^{2022} = 2^{2 \times 1011} = (2^2)^{1011}\).

Thay \(2^2\) bằng \(4\):
\(A = (2^2)^{1011} – 1 = 4^{1011} – 1\).

Xét \(4^{1011} – 1\) chia cho 3.
Chúng ta biết rằng \(4 \equiv 1 \pmod{3}\).
Do đó, \(4^{1011} \equiv 1^{1011} \pmod{3}\).
Mà \(1^{1011} = 1\).
Vậy, \(4^{1011} \equiv 1 \pmod{3}\).

Điều này có nghĩa là \(4^{1011}\) chia cho 3 dư 1.
Khi đó, \(4^{1011} – 1\) sẽ chia hết cho 3.
Hay \(A = 2^{2022} – 1\) chia hết cho 3.

Chúng ta cũng có thể nhóm các số hạng trong biểu thức A ban đầu để chứng minh.
A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021
Nhóm các số hạng lại thành các bộ ba:
A = (1 + 2 + 2^2) + (2^3 + 2^4 + 2^5) + … + (2^2019 + 2^2020 + 2^2021)
A = (1 + 2 + 4) + 2^3(1 + 2 + 2^2) + … + 2^2019(1 + 2 + 2^2)
A = 7 + 2^3(7) + … + 2^2019(7)
A = 7 * (1 + 2^3 + … + 2^2019)
Vì A có thừa số chung là 7 nên A chia hết cho 7.

À cô xin lỗi, phần nhóm này là để chứng minh chia hết cho 7. Bây giờ cô quay lại chứng minh A chia hết cho 3 bằng cách nhóm.

A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021
Số số hạng trong A là 2021 – 0 + 1 = 2022 số hạng.
Chúng ta có thể nhóm A thành các bộ hai số hạng liên tiếp:
A = (1 + 2) + (2^2 + 2^3) + … + (2^2020 + 2^2021)
A = 3 + 2^2(1 + 2) + … + 2^2020(1 + 2)
A = 3 + 2^2(3) + … + 2^2020(3)
A = 3 * (1 + 2^2 + … + 2^2020)
Vì A có thừa số chung là 3 nên A chia hết cho 3.

Chứng minh A chia hết cho 7:

Chúng ta đã thấy cách nhóm các số hạng thành bộ ba ở trên rất hiệu quả.
A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^2020 + 2^2021
Số số hạng là 2022. Vì 2022 chia hết cho 3 (2+0+2+2=6, 6 chia hết cho 3), nên chúng ta có thể nhóm A thành các bộ ba số hạng liên tiếp.
A = (1 + 2 + 2^2) + (2^3 + 2^4 + 2^5) + … + (2^2019 + 2^2020 + 2^2021)
Xem xét bộ ba đầu tiên:
1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7
Xem xét bộ ba thứ hai:
2^3 + 2^4 + 2^5 = 2^3 (1 + 2 + 2^2) = 8 7 = 56
Chúng ta có thể thấy quy luật là mỗi bộ ba sẽ có thừa số chung là 7.
A = 7 + 2^3 7 + 2^6 7 + … + 2^2019 * 7
A = 7 * (1 + 2^3 + 2^6 + … + 2^2019)
Vì A có thừa số chung là 7 nên A chia hết cho 7.

Hoặc chúng ta cũng có thể sử dụng biểu thức rút gọn A = 2^2022 – 1 để chứng minh A chia hết cho 7.
Chúng ta cần xem xét \(2^{2022}\) chia cho 7 dư bao nhiêu.
Ta có:
\(2^1 = 2\)
\(2^2 = 4\)
\(2^3 = 8\)
8 chia cho 7 dư 1. Hay \(2^3 \equiv 1 \pmod{7}\).

Bây giờ, chúng ta cần biến đổi số mũ 2022 sao cho xuất hiện số mũ 3.
2022 chia cho 3 được 674.
Vậy, \(2^{2022} = 2^{3 \times 674} = (2^3)^{674}\).

Thay \(2^3\) bằng \(8\):
\(A = (2^3)^{674} – 1 = 8^{674} – 1\).

Xét \(8^{674} – 1\) chia cho 7.
Chúng ta biết rằng \(8 \equiv 1 \pmod{7}\).
Do đó, \(8^{674} \equiv 1^{674} \pmod{7}\).
Mà \(1^{674} = 1\).
Vậy, \(8^{674} \equiv 1 \pmod{7}\).

Điều này có nghĩa là \(8^{674}\) chia cho 7 dư 1.
Khi đó, \(8^{674} – 1\) sẽ chia hết cho 7.
Hay \(A = 2^{2022} – 1\) chia hết cho 7.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán. Các em thấy đó, với phương pháp nhân và trừ, cùng với việc nhận biết quy luật chia hết, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Hãy ôn tập thật kỹ các kiến thức về lũy thừa và tính chia hết nhé các em!