Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập về biểu thức chứa căn thức, một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Đề bài cho biểu thức A = căn x+1 trên căn x-1 cộng căn x-1 trên căn x+1 cộng 3 căn x cộng 1 trên 1-x ( với x>0,x khác 0)

Phần 1: Rút gọn biểu thức A

Để rút gọn biểu thức A, trước hết chúng ta cần tìm mẫu số chung.
Ta có:
căn x-1
căn x+1
1-x = -(x-1)

Vậy, mẫu số chung của các phân thức là (căn x-1)(căn x+1).

Bây giờ, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số và rút gọn từng phân thức:

Phân thức thứ nhất:
(căn x+1) / (căn x-1)
Để có mẫu số chung là (căn x-1)(căn x+1), ta nhân cả tử và mẫu với (căn x+1):
= \(\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
= \(\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x})^2 – 1^2}\)
= \(\frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x – 1}\)

Phân thức thứ hai:
(căn x-1) / (căn x+1)
Để có mẫu số chung là (căn x-1)(căn x+1), ta nhân cả tử và mẫu với (căn x-1):
= \(\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\)
= \(\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x})^2 – 1^2}\)
= \(\frac{x – 2\sqrt{x} + 1}{x – 1}\)

Phân thức thứ ba:
(3 căn x + 1) / (1-x)
Ta viết lại mẫu là -(x-1) để đồng nhất mẫu số chung:
= \(\frac{3\sqrt{x}+1}{-(x-1)}\)
= \(\frac{-(3\sqrt{x}+1)}{x-1}\)
= \(\frac{-3\sqrt{x}-1}{x-1}\)

Bây giờ, ta cộng ba phân thức đã quy đồng:
A = \(\frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x – 1} + \frac{x – 2\sqrt{x} + 1}{x – 1} + \frac{-3\sqrt{x}-1}{x-1}\)
A = \(\frac{(x + 2\sqrt{x} + 1) + (x – 2\sqrt{x} + 1) + (-3\sqrt{x}-1)}{x – 1}\)
A = \(\frac{x + 2\sqrt{x} + 1 + x – 2\sqrt{x} + 1 – 3\sqrt{x} – 1}{x – 1}\)

Gom các hạng tử giống nhau ở tử số:
A = \(\frac{(x+x) + (2\sqrt{x} – 2\sqrt{x} – 3\sqrt{x}) + (1 + 1 – 1)}{x – 1}\)
A = \(\frac{2x – 3\sqrt{x} + 1}{x – 1}\)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem tử số có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn với mẫu số không.
Ta nhận thấy tử số là một tam thức bậc hai theo biến căn x.
Đặt \(t = \sqrt{x}\). Khi đó, tử số trở thành \(2t^2 – 3t + 1\).
Ta có thể phân tích tam thức này thành nhân tử bằng cách tìm nghiệm hoặc nhẩm:
\(2t^2 – 3t + 1 = (2t – 1)(t – 1)\)

Thay \(t = \sqrt{x}\) trở lại, ta được:
Tử số = \((2\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} – 1)\)

Mẫu số là \(x – 1 = (\sqrt{x})^2 – 1^2 = (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)\).

Vậy, biểu thức A trở thành:
A = \(\frac{(2\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} – 1)}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)}\)

Vì điều kiện xác định là x > 0 và x khác 1, nên \(\sqrt{x} \neq 1\), do đó \(\sqrt{x} – 1 \neq 0\). Ta có thể rút gọn \(\sqrt{x} – 1\) ở cả tử và mẫu:
A = \(\frac{2\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} + 1}\)

Vậy, biểu thức A sau khi rút gọn là:
A = \(\frac{2\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} + 1}\)

Phần 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(\frac{2\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} + 1}\), ta có thể biến đổi biểu thức này về dạng quen thuộc.
Ta sẽ thêm bớt ở tử số để xuất hiện \(\sqrt{x} + 1\).
A = \(\frac{2(\sqrt{x} + 1) – 2 – 1}{\sqrt{x} + 1}\)
A = \(\frac{2(\sqrt{x} + 1) – 3}{\sqrt{x} + 1}\)
A = \(\frac{2(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} – \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\)
A = \(2 – \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\)

Bây giờ, chúng ta cần xem xét giá trị của biểu thức \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\).
Với điều kiện x > 0, ta có \(\sqrt{x} > 0\).
Suy ra, \(\sqrt{x} + 1 > 1\).

Khi \(\sqrt{x} + 1 > 1\), thì \(\frac{1}{\sqrt{x} + 1} < 1\). Nhân cả hai vế với 3 (là một số dương), ta được: \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 3\). Mặt khác, vì \(\sqrt{x} + 1\) luôn dương, nên \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) luôn dương. Vậy, ta có: \(0 < \frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 3\). Bây giờ, chúng ta xét biểu thức A = \(2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\). Để A đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần trừ đi một số lớn nhất có thể. Tức là, ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\). Tuy nhiên, khi \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) càng lớn thì A càng nhỏ. Nhìn vào biểu thức \(2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\), để A nhỏ nhất, thì \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) phải lớn nhất. Điều này xảy ra khi mẫu số \(\sqrt{x} + 1\) nhỏ nhất. Vì x > 0, nên \(\sqrt{x}\) có thể tiến gần đến 0 nhưng không bằng 0.
Do đó, \(\sqrt{x} + 1\) sẽ có giá trị nhỏ nhất tiến gần đến 1.
Khi đó, \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) sẽ có giá trị lớn nhất tiến gần đến 3.

Tuy nhiên, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Hãy xem xét lại \(A = 2 – \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\).
Vì \(\sqrt{x} + 1 > 1\), nên \(0 < \frac{1}{\sqrt{x} + 1} < 1\). Do đó, \(0 < \frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 3\). Khi \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) tiến gần đến 3 (tức là \(\sqrt{x}\) tiến gần đến 0), thì A tiến gần đến \(2 - 3 = -1\). Khi \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) tiến gần đến 0 (tức là \(\sqrt{x}\) tiến rất lớn), thì A tiến gần đến \(2 - 0 = 2\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất. Biểu thức A = \(2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) sẽ nhỏ nhất khi \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) lớn nhất. \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) lớn nhất khi \(\sqrt{x} + 1\) nhỏ nhất. Vì x > 0, nên \(\sqrt{x} > 0\).
Do đó, \(\sqrt{x} + 1 > 1\).
Giá trị nhỏ nhất mà \(\sqrt{x} + 1\) có thể tiến tới là 1 (nhưng không bao giờ bằng 1 vì x > 0).
Khi \(\sqrt{x} + 1\) tiến gần tới 1, thì \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) tiến gần tới 3.
Lúc này, A tiến gần tới \(2 – 3 = -1\).

Nhưng liệu A có đạt giá trị -1 hay không?
A = \(\frac{2\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} + 1}\)
Để A = -1, ta có:
\(\frac{2\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} + 1} = -1\)
\(2\sqrt{x} – 1 = -(\sqrt{x} + 1)\)
\(2\sqrt{x} – 1 = -\sqrt{x} – 1\)
\(2\sqrt{x} + \sqrt{x} = -1 + 1\)
\(3\sqrt{x} = 0\)
\(\sqrt{x} = 0\)
\(x = 0\)
Tuy nhiên, đề bài cho điều kiện x > 0. Do đó, A không bao giờ đạt giá trị -1.

Chúng ta xem xét lại biểu thức A = \(2 – \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\).
Vì \(\sqrt{x} > 0\), nên \(\sqrt{x} + 1 > 1\).
Suy ra, \(0 < \frac{1}{\sqrt{x} + 1} < 1\). Nhân với 3: \(0 < \frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 3\). Vậy, \(2 - 3 < 2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 2 - 0\). \(-1 < A < 2\). Biểu thức A luôn lớn hơn -1. Vì \(\sqrt{x}\) có thể tiến rất gần đến 0 (nhưng không bằng 0), nên \(\sqrt{x} + 1\) có thể tiến rất gần đến 1. Khi đó, \(\frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) sẽ tiến rất gần đến 3. Và A sẽ tiến rất gần đến \(2 - 3 = -1\). Vì A luôn lớn hơn -1 và có thể tiến gần đến -1, nên giá trị nhỏ nhất của A không đạt được tại một giá trị x cụ thể nào thỏa mãn x > 0. Tuy nhiên, ta có thể nói rằng cận dưới của A là -1.

Trong trường hợp bài toán yêu cầu tìm “giá trị nhỏ nhất” và có thể đạt được, thì chúng ta sẽ cần xem xét kỹ hơn. Nhưng ở đây, với điều kiện x > 0, giá trị -1 là cận dưới mà A không bao giờ đạt tới.

Trong các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất thường gặp ở lớp 9, nếu gặp dạng này, chúng ta thường kết luận giá trị nhỏ nhất là một số mà biểu thức đạt được.
Nếu đề bài có nhầm lẫn về điều kiện hoặc cách hỏi, ta có thể xem xét trường hợp x=0.
Nếu x=0 thì A = \(\frac{2\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} = \frac{-1}{1} = -1\).

Tuy nhiên, với điều kiện x > 0, chúng ta không có giá trị x để A đạt -1.
Vậy A luôn lớn hơn -1.
Giá trị nhỏ nhất của A không tồn tại trong tập số thực với điều kiện x > 0.

Tuy nhiên, nếu đề bài mong muốn một câu trả lời dạng số, có thể có sự hiểu nhầm trong đề bài.
Giả sử nếu có thể cho x=0, thì giá trị nhỏ nhất là -1.

Nếu chúng ta không cho phép A đạt giá trị -1, và hỏi về “giá trị nhỏ nhất”, thì đáp án chính xác nhất là “không có giá trị nhỏ nhất đạt được”.

Chúng ta hãy kiểm tra lại các bước rút gọn.
Phần rút gọn là chính xác.
Phần biến đổi A = \(2 – \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\) cũng chính xác.

Vì \(\sqrt{x} > 0 \implies \sqrt{x}+1 > 1\).
Do đó, \(0 < \frac{1}{\sqrt{x}+1} < 1\). Nhân 3: \(0 < \frac{3}{\sqrt{x}+1} < 3\). Nhân -1 và đổi chiều bất đẳng thức: \(-3 < -\frac{3}{\sqrt{x}+1} < 0\). Cộng 2: \(2 - 3 < 2 - \frac{3}{\sqrt{x}+1} < 2 + 0\). \(-1 < A < 2\). Biểu thức A luôn lớn hơn -1. Vì x có thể rất gần 0 (nhưng x>0), \(\sqrt{x}\) có thể rất gần 0.
Khi đó \(\sqrt{x}+1\) rất gần 1.
Khi đó \(\frac{3}{\sqrt{x}+1}\) rất gần 3.
Và A = \(2 – \frac{3}{\sqrt{x}+1}\) rất gần \(2 – 3 = -1\).

Nghĩa là, A có thể nhận các giá trị rất gần -1, ví dụ như -0.9999.
Nhưng A không bao giờ bằng -1.
Vì vậy, về mặt toán học chặt chẽ, biểu thức A không có giá trị nhỏ nhất đạt được trên tập x > 0.

Tuy nhiên, trong các bài kiểm tra hoặc sách bài tập, nếu câu hỏi là “Tìm giá trị nhỏ nhất”, thì có thể ngầm hiểu là tìm “giá trị nhỏ nhất có thể đạt được” hoặc “cận dưới”.
Trong trường hợp này, nếu bắt buộc phải đưa ra một giá trị, thì chúng ta phải chấp nhận rằng nó không đạt được.

Nếu bài toán là: Tìm giá trị nhỏ nhất của A với x \(\ge\) 0 và x \(\neq\) 1.
Khi đó, ta xét thêm trường hợp x = 0.
Nếu x = 0, A = -1.
Vì \(A > -1\) với x > 0, và A = -1 khi x = 0.
Nên giá trị nhỏ nhất của A là -1, đạt được khi x = 0.

Nhưng đề bài đã cho rõ x > 0.

Vậy, câu trả lời cho phần 2 là:
Biểu thức A = \(2 – \frac{3}{\sqrt{x} + 1}\).
Vì x > 0 nên \(\sqrt{x} > 0\), suy ra \(\sqrt{x} + 1 > 1\).
Do đó, \(0 < \frac{1}{\sqrt{x} + 1} < 1\). Nhân với 3, ta có \(0 < \frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 3\). Nhân với -1 và đổi dấu, ta có \(-3 < -\frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 0\). Cộng 2 vào các vế, ta được \(2 - 3 < 2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 1} < 2 + 0\). Hay \(-1 < A < 2\). Vì A luôn lớn hơn -1 và có thể tiến rất gần đến -1 (khi x tiến rất gần 0), nên biểu thức A không đạt được giá trị nhỏ nhất trên tập xác định x > 0.

Nếu đề bài có ý định tìm giá trị nhỏ nhất có thể đạt được, thì cần xem xét lại điều kiện đề bài.
Tuy nhiên, dựa trên đề bài đã cho, ta kết luận:
“Biểu thức A không có giá trị nhỏ nhất đạt được với điều kiện x > 0.”

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách làm. Nếu có câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.