Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về rút gọn biểu thức phân thức đại số. Bài tập này có trong chương trình Toán lớp 8, sách giáo khoa mới. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Đề bài cho biểu thức:
C = (2x+1/(x-10) – 2x-1/(x+10)) : x+1/(x^1-100)

Chúng ta sẽ đi vào từng câu hỏi.

a. Viết điều kiện xác định của biểu thức C

Để một biểu thức phân thức đại số có nghĩa, mẫu thức của các phân thức phải khác 0. Chúng ta sẽ xem xét từng mẫu thức trong biểu thức C.

Các mẫu thức cần phải khác 0 là:
1. x – 10
2. x + 10
3. x^2 – 100
4. x + 1/(x^2 – 100) (Đây là mẫu thức của phép chia cuối cùng)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt đặt điều kiện cho từng mẫu thức:

* Điều kiện 1: x – 10 ≠ 0
Suy ra: x ≠ 10

* Điều kiện 2: x + 10 ≠ 0
Suy ra: x ≠ -10

* Điều kiện 3: x^2 – 100 ≠ 0
Ta nhận thấy đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: x^2 – 10^2 = (x – 10)(x + 10).
Vậy điều kiện này tương đương với (x – 10)(x + 10) ≠ 0.
Điều này có nghĩa là x – 10 ≠ 0 VÀ x + 10 ≠ 0.
Từ đó, ta có: x ≠ 10 và x ≠ -10.

* Điều kiện 4: x + 1/(x^2 – 100) ≠ 0
Để phân thức này khác 0, ta quy đồng mẫu thức:
(x(x^2 – 100) + 1) / (x^2 – 100) ≠ 0
Điều này đòi hỏi tử thức phải khác 0 và mẫu thức phải khác 0.
Ta đã có điều kiện mẫu thức x^2 – 100 ≠ 0 rồi. Bây giờ ta xét tử thức:
x(x^2 – 100) + 1 ≠ 0
x^3 – 100x + 1 ≠ 0

Tuy nhiên, để xác định điều kiện xác định của cả biểu thức C, chúng ta chỉ cần xem xét tất cả các mẫu số xuất hiện trong biểu thức trước khi rút gọn.
Các mẫu số đó là: (x-10), (x+10), và (x^2-100).
Phép chia cuối cùng là chia cho biểu thức (x + 1/(x^2 – 100)). Mẫu của phép chia này là biểu thức (x + 1/(x^2 – 100)) này, và mẫu của phân thức bên trong ngoặc là (x^2 – 100).

Vậy, các mẫu số cần khác 0 là:
1. x – 10 ≠ 0 => x ≠ 10
2. x + 10 ≠ 0 => x ≠ -10
3. x^2 – 100 ≠ 0 => (x – 10)(x + 10) ≠ 0 => x ≠ 10 và x ≠ -10. (Điều kiện này đã bao gồm 1 và 2)
4. Biểu thức là (….) : (x + 1/(x^2 – 100)). Mẫu số của phép chia này là (x + 1/(x^2 – 100)).
Nên ta cần: x + 1/(x^2 – 100) ≠ 0.
Để đơn giản hóa, ta quy đồng:
(x(x^2 – 100) + 1) / (x^2 – 100) ≠ 0
Điều này có nghĩa là:
– x^2 – 100 ≠ 0 (ta đã có ở trên)
– x(x^2 – 100) + 1 ≠ 0

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức C là:
x ≠ 10
x ≠ -10
Và x(x^2 – 100) + 1 ≠ 0

Để làm rõ hơn, ta có thể kiểm tra xem nghiệm của x(x^2 – 100) + 1 = 0 có trùng với x=10 hay x=-10 không.
Nếu x=10, thì 10(10^2 – 100) + 1 = 10(100 – 100) + 1 = 10(0) + 1 = 1 ≠ 0.
Nếu x=-10, thì -10((-10)^2 – 100) + 1 = -10(100 – 100) + 1 = -10(0) + 1 = 1 ≠ 0.
Vì vậy, điều kiện x(x^2 – 100) + 1 ≠ 0 là một điều kiện độc lập với x ≠ 10 và x ≠ -10.

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức C là: x ≠ 10, x ≠ -10, và x(x^2 – 100) + 1 ≠ 0.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, đề bài có thể chỉ yêu cầu xét các mẫu số cơ bản. Nếu đề bài chỉ yêu cầu điều kiện xác định cho các phân thức cơ bản, thì ta chỉ xét x-10, x+10, x^2-100. Nhưng ở đây là một biểu thức tổng thể, nên ta phải xét cả mẫu của phép chia cuối cùng.

Kết luận câu a:
Điều kiện xác định của biểu thức C là: \( x \neq 10 \), \( x \neq -10 \), và \( x(x^2 – 100) + 1 \neq 0 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét phần tính toán giá trị của biểu thức C. Để tính giá trị tại x=2023, chúng ta cần rút gọn biểu thức C trước.
Biểu thức C = (2x+1/(x-10) – 2x-1/(x+10)) : x+1/(x^1-100)

Ta nhận thấy cách viết đề bài hơi lạ ở chỗ “2x+1/(x-10)” và “2x-1/(x+10)”. Nếu hiểu đây là (2x) + (1/(x-10)) thì sẽ khác với 2x + 1 chia cho (x-10).
Tuy nhiên, theo cách viết thông thường trong Toán lớp 8 khi có phép chia đứng sau phép cộng/trừ, thì nó thường được hiểu là phép chia đó chỉ áp dụng cho số hạng đứng ngay trước nó.
Ta tạm giả định đề bài là:
C = ( (2x + 1) / (x-10) – (2x – 1) / (x+10) ) : ( x + 1 / (x^2 – 100) )

Nếu cách hiểu này sai, em vui lòng xem lại cách gõ đề nhé.
Với giả định trên, chúng ta sẽ đi rút gọn:

Bước 1: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ nhất:
A = (2x + 1) / (x-10) – (2x – 1) / (x+10)
Để trừ hai phân thức, ta quy đồng mẫu thức chung là (x-10)(x+10) = x^2 – 100.
A = [ (2x + 1)(x + 10) – (2x – 1)(x – 10) ] / [ (x-10)(x+10) ]

Ta nhân tử thức:
(2x + 1)(x + 10) = 2x*x + 2x*10 + 1*x + 1*10 = 2x^2 + 20x + x + 10 = 2x^2 + 21x + 10
(2x – 1)(x – 10) = 2x*x + 2x*(-10) – 1*x – 1*(-10) = 2x^2 – 20x – x + 10 = 2x^2 – 21x + 10

Thay vào tử thức của A:
Tử thức A = (2x^2 + 21x + 10) – (2x^2 – 21x + 10)
Tử thức A = 2x^2 + 21x + 10 – 2x^2 + 21x – 10
Tử thức A = (2x^2 – 2x^2) + (21x + 21x) + (10 – 10)
Tử thức A = 0 + 42x + 0 = 42x

Vậy, biểu thức trong dấu ngoặc đơn thứ nhất là:
A = 42x / (x^2 – 100)

Bước 2: Rút gọn biểu thức mẫu của phép chia cuối cùng:
B = x + 1 / (x^2 – 100)
Quy đồng mẫu thức chung là x^2 – 100:
B = [ x(x^2 – 100) + 1 ] / (x^2 – 100)
B = (x^3 – 100x + 1) / (x^2 – 100)

Bước 3: Thực hiện phép chia hai biểu thức A và B:
C = A : B
C = [ 42x / (x^2 – 100) ] : [ (x^3 – 100x + 1) / (x^2 – 100) ]
Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức thứ nhất với phân thức nghịch đảo của phân thức thứ hai.
C = [ 42x / (x^2 – 100) ] * [ (x^2 – 100) / (x^3 – 100x + 1) ]

Ta thấy (x^2 – 100) ở tử và mẫu có thể rút gọn (với điều kiện x^2 – 100 ≠ 0, điều này đã nằm trong điều kiện xác định).
C = 42x / (x^3 – 100x + 1)

Vậy, biểu thức C sau khi rút gọn là: \( C = \frac{42x}{x^3 – 100x + 1} \)

b. Tính giá trị của biểu thức C tại x = 2023

Chúng ta đã có biểu thức C sau khi rút gọn là \( C = \frac{42x}{x^3 – 100x + 1} \).
Trước hết, ta kiểm tra xem x = 2023 có thỏa mãn điều kiện xác định không.
x = 2023 rõ ràng là khác 10 và khác -10.
Bây giờ ta kiểm tra điều kiện thứ ba: x(x^2 – 100) + 1 ≠ 0.
Tại x = 2023, ta có:
2023 * (2023^2 – 100) + 1.
Vì 2023 là số dương và 2023^2 > 100, nên 2023^2 – 100 > 0.
Do đó, 2023 * (2023^2 – 100) là một số dương rất lớn. Cộng thêm 1 thì chắc chắn khác 0.
Vậy x = 2023 thỏa mãn điều kiện xác định.

Bây giờ, ta thay x = 2023 vào biểu thức C đã rút gọn:
C = 42 2023 / (2023^3 – 100 2023 + 1)

Ta đã rút gọn mẫu thức của phép chia cuối cùng chính là \( x^3 – 100x + 1 \).
Do đó, khi thay x = 2023 vào biểu thức \( \frac{42x}{x^3 – 100x + 1} \) chính là thay vào biểu thức \( \frac{42x}{x(x^2 – 100) + 1} \).

Ta thấy rằng, trong biểu thức gốc:
C = ( (2x + 1) / (x-10) – (2x – 1) / (x+10) ) : ( x + 1 / (x^2 – 100) )
C = ( 42x / (x^2 – 100) ) : ( (x(x^2 – 100) + 1) / (x^2 – 100) )

Khi x = 2023, tử số của biểu thức thứ nhất là 42 * 2023.
Mẫu số của biểu thức thứ nhất là 2023^2 – 100.
Mẫu số của phép chia là (2023 * (2023^2 – 100) + 1) / (2023^2 – 100).

Ta có thể thấy mẫu của phép chia cuối cùng là B = x + 1/(x^2 – 100).
Tại x = 2023, B = 2023 + 1/(2023^2 – 100).
Tử thức của phép chia là A = (2x+1)/(x-10) – (2x-1)/(x+10).
Tại x = 2023, A = (2*2023 + 1)/(2023 – 10) – (2*2023 – 1)/(2023 + 10)
A = (4047)/(2013) – (4045)/(2033)

Việc tính toán trực tiếp A và B rồi chia sẽ rất phức tạp. Đó là lý do tại sao chúng ta cần rút gọn biểu thức C.

Với biểu thức C đã rút gọn: \( C = \frac{42x}{x^3 – 100x + 1} \).
Ta chỉ cần thay x = 2023 vào:
C = \( \frac{42 \times 2023}{2023^3 – 100 \times 2023 + 1} \)

Để tính giá trị này một cách cụ thể, chúng ta cần tính toán. Tuy nhiên, nếu đề bài không yêu cầu tính ra một số thập phân hay phân số cụ thể mà chỉ yêu cầu “tính giá trị”, thì việc thay số vào biểu thức rút gọn cũng được coi là một cách “tính giá trị”.

Nếu ta cần tính ra một con số, ta sẽ có:
Tử số = 42 * 2023 = 85000 – 168 + 42 = 85000 – 126 = 84966.
Mẫu số = 2023^3 – 100 * 2023 + 1.
Tính 2023^3 là một con số rất lớn, đây không phải là dạng bài yêu cầu tính toán số lớn như vậy.
Thường thì ở dạng bài này, sẽ có một sự “gọn gàng” nào đó.
Ta xem lại biểu thức mẫu: x^3 – 100x + 1.

Có thể đề bài ban đầu có một chút nhầm lẫn trong cách gõ. Nếu đề bài là:
C = (2x+1/(x-10) – 2x-1/(x+10)) : (x+1)/(x^2-100)
thì mẫu thức của phép chia sẽ là (x+1)/(x^2-100).
Khi đó, C = (42x / (x^2-100)) : ((x+1)/(x^2-100))
C = (42x / (x^2-100)) * ((x^2-100)/(x+1))
C = 42x / (x+1)
Tại x = 2023, C = 42 2023 / (2023 + 1) = 42 2023 / 2024.
C = 42 2023 / (4 506) = 21 2023 / (2 506) = 21 * 2023 / 1012.

Hoặc nếu đề bài là:
C = (2x+1/(x-10) – 2x-1/(x+10)) : ( (x+1)/(x^2-100) )
thì ta cũng ra kết quả trên.

Tuy nhiên, với đề bài gốc: C = (2x+1/(x-10) – 2x-1/(x+10)) : x+1/(x^1-100)
Nếu hiểu là phép chia cuối cùng là chia cho “x” rồi cộng thêm “1/(x^2-100)” thì cách viết là:
C = ( (2x + 1) / (x-10) – (2x – 1) / (x+10) ) : x + 1 / (x^2 – 100)
Đây là phép trừ, rồi chia cho x, rồi cộng với một phân thức. Cách này sẽ phức tạp hơn nhiều.

Ta quay lại với giả định ban đầu về cách hiểu đề và kết quả rút gọn: \( C = \frac{42x}{x^3 – 100x + 1} \).
Việc tính toán \( 2023^3 – 100 \times 2023 + 1 \) là rất khó để làm thủ công.
Thường thì, các bài toán lớp 8 yêu cầu tính giá trị sẽ có một sự đơn giản hóa đáng kể. Có thể biểu thức \( x^3 – 100x + 1 \) có một nhân tử nào đó hoặc có một mối liên hệ đặc biệt với tử số \( 42x \).

Xem xét lại mẫu số: \( x^3 – 100x + 1 \).
Tại x = 2023, mẫu số là \( 2023^3 – 100 \times 2023 + 1 \).

Nếu đề bài thực sự là như vậy và yêu cầu tính giá trị, thì đáp án chỉ có thể là để nguyên dạng biểu thức thay số vào.

Kết luận câu b:
Thay x = 2023 vào biểu thức C đã rút gọn \( C = \frac{42x}{x^3 – 100x + 1} \), ta được:
C = \( \frac{42 \times 2023}{2023^3 – 100 \times 2023 + 1} \)

Để có một đáp án cụ thể hơn, ta có thể tính tử số: \( 42 \times 2023 = 84966 \).
Mẫu số là \( 2023^3 – 202300 + 1 \).
Việc tính \( 2023^3 \) là một phép tính lớn.

Trong chương trình lớp 8, nếu gặp bài này, cô giáo sẽ cho phép em để đáp án dạng biểu thức thay số vào. Nếu yêu cầu tính cụ thể, em có thể dùng máy tính.

Vậy, giá trị của biểu thức C tại x = 2023 là \( \frac{84966}{2023^3 – 202300 + 1} \).
Nếu muốn tính xấp xỉ hoặc dùng máy tính để ra số, thì:
2023^3 ≈ 8.27 x 10^9
Mẫu số ≈ 8.27 x 10^9 – 202300 + 1 ≈ 8.27 x 10^9.
Giá trị C sẽ rất nhỏ.

Để chắc chắn, em hãy kiểm tra lại cách gõ đề bài nhé, đặc biệt là các dấu phân chia và dấu ngoặc. Nếu đề bài đúng như vậy, thì cách trình bày và kết quả trên là hợp lý theo kiến thức lớp 8.

Hẹn gặp lại các em trong các bài học tiếp theo!