Chào các em học sinh yêu quý! Thầy/Cô rất vui được cùng các em giải một bài toán về phân thức rất thú vị trong chương trình Toán 8. Đây là dạng bài thường gặp để củng cố kiến thức về rút gọn phân thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ đó các em.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài yêu cầu: Chứng tỏ cặp phân thức \( \frac{x^2 – 2x + 1}{x – 1} \) và \( \frac{x^2 – 1}{x + 1} \) bằng nhau, với điều kiện \( x \neq \pm 1 \).

Để chứng tỏ hai phân thức bằng nhau, cách làm thông thường và hiệu quả nhất là chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức về dạng tối giản. Nếu hai phân thức sau khi rút gọn có cùng dạng, thì chúng bằng nhau.

Chúng ta cùng thực hiện từng bước một nhé!

Bước 1: Rút gọn phân thức thứ nhất

Phân thức thứ nhất là: \( \frac{x^2 – 2x + 1}{x – 1} \)

Chúng ta quan sát tử thức: \( x^2 – 2x + 1 \).
Đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học, có dạng \( a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 \).
Ở đây, \( a = x \) và \( b = 1 \).
Vậy, tử thức có thể viết lại là: \( (x – 1)^2 \).

Khi đó, phân thức trở thành:
\[ \frac{(x – 1)^2}{x – 1} \]

Vì điều kiện đề bài cho là \( x \neq 1 \), nên \( x – 1 \neq 0 \). Điều này cho phép chúng ta chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung \( (x – 1) \).

Giải thích: Khi rút gọn phân thức, chúng ta chia cả tử và mẫu cho một nhân tử chung (khác 0). Điều kiện \( x \neq 1 \) đảm bảo rằng nhân tử \( (x – 1) \) khác 0, nên việc rút gọn là hợp lệ.

Thực hiện phép chia, ta được:
\[ \frac{(x – 1)^2}{x – 1} = x – 1 \]
Vậy, phân thức thứ nhất sau khi rút gọn là \( x – 1 \).

Bước 2: Rút gọn phân thức thứ hai

Phân thức thứ hai là: \( \frac{x^2 – 1}{x + 1} \)

Chúng ta quan sát tử thức: \( x^2 – 1 \).
Đây cũng là một hằng đẳng thức đáng nhớ, có dạng \( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \).
Ở đây, \( a = x \) và \( b = 1 \).
Vậy, tử thức có thể viết lại là: \( (x – 1)(x + 1) \).

Khi đó, phân thức trở thành:
\[ \frac{(x – 1)(x + 1)}{x + 1} \]

Vì điều kiện đề bài cho là \( x \neq -1 \), nên \( x + 1 \neq 0 \). Điều này cho phép chúng ta chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung \( (x + 1) \).

Giải thích: Tương tự như trên, điều kiện \( x \neq -1 \) đảm bảo rằng nhân tử \( (x + 1) \) khác 0, nên việc rút gọn là hợp lệ.

Thực hiện phép chia, ta được:
\[ \frac{(x – 1)(x + 1)}{x + 1} = x – 1 \]
Vậy, phân thức thứ hai sau khi rút gọn là \( x – 1 \).

Bước 3: So sánh kết quả

Sau khi rút gọn, chúng ta thấy:
Phân thức thứ nhất sau khi rút gọn là \( x – 1 \).
Phân thức thứ hai sau khi rút gọn là \( x – 1 \).

Vì cả hai phân thức đều rút gọn về cùng một biểu thức là \( x – 1 \), nên chúng bằng nhau.

Kết luận:

Vậy, cặp phân thức \( \frac{x^2 – 2x + 1}{x – 1} \) và \( \frac{x^2 – 1}{x + 1} \) là bằng nhau với mọi \( x \neq \pm 1 \).

Các em nhớ nhé, việc thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng rút gọn phân thức là rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phân thức. Hãy luyện tập thật nhiều để nắm vững kiến thức này!

Chúc các em học tốt!