Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về cấp số cộng trong chương trình Toán lớp 11. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé.

Đề bài cho chúng ta một cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu u_1 = 11 và số hạng thứ hai u_2 = 13. Nhiệm vụ của chúng ta là tính tổng S = 1/(u_1 u_2) + 1/(u_2 u_3) + … + 1/(u_99 * u_100).

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các yếu tố của cấp số cộng này.

Bước 1: Tìm công sai của cấp số cộng.
Ta biết rằng trong một cấp số cộng, hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số, gọi là công sai, ký hiệu là ‘d’.
Ta có: d = u_2 – u_1
Thay số vào, ta được: d = 13 – 11 = 2.
Vậy công sai của cấp số cộng này là 2.

Bước 2: Tìm công thức tổng quát của số hạng thứ n (u_n).
Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong một cấp số cộng là:
u_n = u_1 + (n-1)d
Thay các giá trị u_1 = 11 và d = 2 vào công thức, ta được:
u_n = 11 + (n-1)2
u_n = 11 + 2n – 2
u_n = 2n + 9

Bước 3: Phân tích dạng tổng quát của từng số hạng trong tổng S.
Mỗi số hạng trong tổng S có dạng 1/(u_k * u_{k+1}).
Ta có u_k = 2k + 9.
Và u_{k+1} = 2(k+1) + 9 = 2k + 2 + 9 = 2k + 11.
Vậy, số hạng tổng quát trong tổng S là 1/((2k+9)(2k+11)).

Bước 4: Biểu diễn số hạng tổng quát dưới dạng hiệu hai phân số.
Đây là một kỹ thuật quan trọng để tính các tổng dạng này, gọi là phương pháp “tách hạng tử” hoặc “khai triển telesopic”.
Ta muốn biểu diễn 1/((2k+9)(2k+11)) dưới dạng A/(2k+9) + B/(2k+11).
Quy đồng mẫu số, ta được: (A(2k+11) + B(2k+9)) / ((2k+9)(2k+11)).
Để hai phân số bằng nhau, tử số phải bằng nhau: A(2k+11) + B(2k+9) = 1.
Ta có thể đồng nhất hệ số của k và hệ số tự do.
(2A + 2B)k + (11A + 9B) = 1
Để đẳng thức này đúng với mọi k, ta cần:
2A + 2B = 0 (hệ số của k)
11A + 9B = 1 (hệ số tự do)

Từ phương trình đầu tiên, ta có A = -B.
Thay vào phương trình thứ hai: 11(-B) + 9B = 1
-11B + 9B = 1
-2B = 1
B = -1/2.
Do đó, A = -B = -(-1/2) = 1/2.

Vậy, ta có thể viết lại số hạng tổng quát như sau:
1/((2k+9)(2k+11)) = (1/2)/(2k+9) + (-1/2)/(2k+11)
1/((2k+9)(2k+11)) = 1/2 * [1/(2k+9) – 1/(2k+11)]

Bước 5: Tính tổng S bằng phương pháp “tách hạng tử”.
Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng công thức vừa tìm được cho từng số hạng trong tổng S.
S = 1/(u_1 u_2) + 1/(u_2 u_3) + … + 1/(u_99 * u_100)

Ta có:
1/(u_1 * u_2) = 1/((2*1+9)(2*1+11)) = 1/((11)(13)) = 1/2 * (1/11 – 1/13)
1/(u_2 * u_3) = 1/((2*2+9)(2*2+11)) = 1/((13)(15)) = 1/2 * (1/13 – 1/15)
1/(u_3 * u_4) = 1/((2*3+9)(2*3+11)) = 1/((15)(17)) = 1/2 * (1/15 – 1/17)
…
1/(u_99 * u_100) = 1/((2*99+9)(2*99+11)) = 1/((198+9)(198+11)) = 1/((207)(209)) = 1/2 * (1/207 – 1/209)

Khi cộng các số hạng này lại, ta thấy các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
S = 1/2 (1/11 – 1/13) + 1/2 (1/13 – 1/15) + 1/2 (1/15 – 1/17) + … + 1/2 (1/207 – 1/209)
S = 1/2 * [(1/11 – 1/13) + (1/13 – 1/15) + (1/15 – 1/17) + … + (1/207 – 1/209)]

Các cặp số hạng giống nhau với dấu trái ngược nhau sẽ triệt tiêu: -1/13 và +1/13, -1/15 và +1/15, …, -1/207 và +1/207.
Chỉ còn lại số hạng đầu tiên của cặp đầu tiên và số hạng thứ hai của cặp cuối cùng.
S = 1/2 * (1/11 – 1/209)

Bước 6: Tính toán kết quả cuối cùng.
Bây giờ chúng ta chỉ cần quy đồng và tính toán.
Để quy đồng 1/11 và 1/209, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất. Ta có 209 = 11 * 19.
Vậy mẫu số chung là 209.
S = 1/2 * (19/209 – 1/209)
S = 1/2 * ((19 – 1) / 209)
S = 1/2 * (18 / 209)
S = 9 / 209

Vậy, tổng S = 9/209.

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải của bài toán này. Đây là một dạng toán rất hay gặp trong các đề kiểm tra và thi cử, vì vậy các em hãy nắm vững phương pháp tách hạng tử này nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô!