Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải một bài tập về cấp số nhân dựa trên kiến thức đã học trong sách giáo khoa Toán lớp 11. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép đầy đủ nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm công bội q và số hạng đầu u1 của một cấp số nhân, khi biết hai số hạng là u2 = 1/4 và u5 = 16.

Chúng ta biết rằng, trong một cấp số nhân, công thức tổng quát cho số hạng thứ n là:
\[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \]

Dựa vào công thức này và thông tin đề bài cho, chúng ta có thể thiết lập các phương trình sau:

Đối với số hạng thứ 2 (u2):
Khi n = 2, ta có:
\[ u_2 = u_1 \cdot q^{2-1} = u_1 \cdot q^1 = u_1 \cdot q \]
Theo đề bài, u2 = 1/4, vậy ta có phương trình thứ nhất:
\[ u_1 \cdot q = \frac{1}{4} \quad (1) \]

Đối với số hạng thứ 5 (u5):
Khi n = 5, ta có:
\[ u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} = u_1 \cdot q^4 \]
Theo đề bài, u5 = 16, vậy ta có phương trình thứ hai:
\[ u_1 \cdot q^4 = 16 \quad (2) \]

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn là u1 và q. Để tìm u1 và q, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia hai phương trình. Chúng ta sẽ lấy phương trình (2) chia cho phương trình (1).

Trước khi chia, ta cần lưu ý rằng u1 và q khác 0. Nếu u1 = 0 thì tất cả các số hạng đều bằng 0, không thỏa mãn u2 = 1/4 và u5 = 16. Nếu q = 0 thì u2 = 0, cũng không thỏa mãn. Do đó, ta có thể thực hiện phép chia.

Chia vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1):
\[ \frac{u_1 \cdot q^4}{u_1 \cdot q} = \frac{16}{\frac{1}{4}} \]

Rút gọn biểu thức bên trái:
\[ q^{4-1} = q^3 \]

Tính toán biểu thức bên phải:
\[ \frac{16}{\frac{1}{4}} = 16 \cdot 4 = 64 \]

Vậy, chúng ta có phương trình mới cho q:
\[ q^3 = 64 \]

Để tìm q, chúng ta cần tìm căn bậc ba của 64.
\[ q = \sqrt[3]{64} \]
Chúng ta biết rằng 4 nhân 4 nhân 4 bằng 64 (4 4 4 = 64).
Vậy,
\[ q = 4 \]
Chúng ta đã tìm được công bội q của cấp số nhân.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm số hạng đầu u1. Chúng ta có thể thay giá trị q = 4 vào một trong hai phương trình ban đầu (1) hoặc (2). Ở đây, chúng ta sẽ thay vào phương trình (1) vì nó đơn giản hơn.

Thay q = 4 vào phương trình (1):
\[ u_1 \cdot q = \frac{1}{4} \]
\[ u_1 \cdot 4 = \frac{1}{4} \]

Để tìm u1, chúng ta chia cả hai vế cho 4:
\[ u_1 = \frac{\frac{1}{4}}{4} \]
\[ u_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \]
\[ u_1 = \frac{1}{16} \]
Chúng ta đã tìm được số hạng đầu u1 của cấp số nhân.

Vậy, công bội của cấp số nhân là q = 4 và số hạng đầu là u1 = 1/16.

Các em có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách thay u1 và q vào công thức số hạng tổng quát để xem có đúng với u2 và u5 đã cho hay không.
Kiểm tra u2: \( u_2 = u_1 \cdot q = \frac{1}{16} \cdot 4 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \) (Đúng)
Kiểm tra u5: \( u_5 = u_1 \cdot q^4 = \frac{1}{16} \cdot 4^4 = \frac{1}{16} \cdot 256 = \frac{256}{16} = 16 \) (Đúng)

Hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững cách tìm công bội và số hạng đầu của cấp số nhân khi biết hai số hạng bất kỳ. Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé.