Xin chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải một bài tập về cấp số nhân. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 11 mà chúng ta đã được học.

Bài tập của chúng ta như sau:
Cho cấp số nhân \(u_n\) có \(u_2 = \frac{1}{4}\) và \(u_5 = 16\). Tìm tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân này.

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại các công thức liên quan đến cấp số nhân.

Bước 1: Tìm công bội \(q\) của cấp số nhân.

Chúng ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
\(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\)

Từ đề bài, ta có:
\(u_2 = u_1 \cdot q^{2-1} = u_1 \cdot q = \frac{1}{4}\) (1)
\(u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} = u_1 \cdot q^4 = 16\) (2)

Để tìm \(q\), ta có thể lấy phương trình (2) chia cho phương trình (1):
\[ \frac{u_5}{u_2} = \frac{u_1 \cdot q^4}{u_1 \cdot q} \]
\[ \frac{16}{\frac{1}{4}} = q^{4-1} \]
\[ 16 \cdot 4 = q^3 \]
\[ 64 = q^3 \]

Để tìm \(q\), ta lấy căn bậc ba của 64:
\[ q = \sqrt[3]{64} \]
\[ q = 4 \]

Vậy, công bội của cấp số nhân là \(q = 4\).

Bước 2: Tìm số hạng đầu tiên \(u_1\).

Bây giờ, chúng ta có \(q = 4\). Thay \(q\) vào phương trình (1):
\(u_1 \cdot q = \frac{1}{4}\)
\(u_1 \cdot 4 = \frac{1}{4}\)

Để tìm \(u_1\), ta chia cả hai vế cho 4:
\[ u_1 = \frac{\frac{1}{4}}{4} \]
\[ u_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \]
\[ u_1 = \frac{1}{16} \]

Vậy, số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(u_1 = \frac{1}{16}\).

Bước 3: Tìm tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.

Chúng ta sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân:
\[ S_n = \frac{u_1 (q^n – 1)}{q – 1} \]

Trong bài toán này, \(n = 10\), \(u_1 = \frac{1}{16}\), và \(q = 4\). Thay các giá trị này vào công thức:
\[ S_{10} = \frac{\frac{1}{16} (4^{10} – 1)}{4 – 1} \]
\[ S_{10} = \frac{\frac{1}{16} (4^{10} – 1)}{3} \]

Bây giờ, chúng ta cần tính \(4^{10}\).
\(4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}\)
Chúng ta có thể tính \(4^{10}\) trực tiếp:
\(4^1 = 4\)
\(4^2 = 16\)
\(4^3 = 64\)
\(4^4 = 256\)
\(4^5 = 1024\)
\(4^{10} = 4^5 \cdot 4^5 = 1024 \cdot 1024\)
\(1024 \cdot 1024 = 1048576\)

Vậy, \(4^{10} = 1048576\).

Tiếp tục tính \(S_{10}\):
\[ S_{10} = \frac{\frac{1}{16} (1048576 – 1)}{3} \]
\[ S_{10} = \frac{\frac{1}{16} (1048575)}{3} \]
\[ S_{10} = \frac{1048575}{16 \cdot 3} \]
\[ S_{10} = \frac{1048575}{48} \]

Bây giờ, chúng ta thực hiện phép chia:
\(1048575 \div 48\)
\(1048575 = 1048560 + 15\)
\(1048560 \div 48 = 21845\)
Vậy,
\[ S_{10} = 21845 + \frac{15}{48} \]
Ta rút gọn phân số \(\frac{15}{48}\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3: \(\frac{15}{48} = \frac{5}{16}\).
Tuy nhiên, để đơn giản, chúng ta có thể để kết quả dưới dạng phân số ban đầu hoặc tính toán lại phép chia.

Hãy kiểm tra lại phép chia \(1048575 \div 48\).
Chúng ta có thể chia nhẩm hoặc dùng máy tính.
\(1048575 / 48 \approx 21845.3125\)

Nếu muốn để dưới dạng phân số, ta có thể kiểm tra xem \(1048575\) có chia hết cho 3 không. Tổng các chữ số của 1048575 là \(1+0+4+8+5+7+5 = 30\), chia hết cho 3.
\(1048575 \div 3 = 349525\).
Vậy,
\[ S_{10} = \frac{349525}{16} \]

Để đảm bảo tính chính xác, chúng ta có thể kiểm tra lại:
\(349525 \div 16 = 21845.3125\)

Kết quả \(S_{10} = \frac{349525}{16}\) là chính xác.

Tóm lại các bước thực hiện:
1. Xác định các dữ kiện đề bài cho: \(u_2 = \frac{1}{4}\) và \(u_5 = 16\).
2. Sử dụng công thức \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) để lập hệ phương trình.
3. Chia hai phương trình cho nhau để tìm công bội \(q\).
4. Thay \(q\) vào một trong hai phương trình để tìm số hạng đầu \(u_1\).
5. Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu \(S_n = \frac{u_1 (q^n – 1)}{q – 1}\) để tính \(S_{10}\).

Vậy, tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là \(\frac{349525}{16}\).

Các em về nhà có thể thử làm lại bài toán này và kiểm tra kết quả của mình nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.