Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán của chúng ta. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại một dạng bài tập rất quen thuộc trong chương lượng giác, đó là tìm các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị đã cho.

Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập sau đây, bám sát theo sách giáo khoa Toán lớp 10.

Đề bài cho chúng ta: cos a = 3/5. Hãy tính các giá trị còn lại.

Khi gặp dạng bài này, các em cần nhớ lại các công thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học.

Bước 1: Tìm giá trị của sin a.

Chúng ta sẽ sử dụng công thức “sin bình phương cộng cos bình phương bằng 1”, mà cô thường gọi vui là “cặp bài trùng” của lượng giác. Công thức này có dạng:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Từ công thức này, chúng ta có thể suy ra:

\[ \sin^2 a = 1 – \cos^2 a \]

Bây giờ, chúng ta thay giá trị cos a = 3/5 vào công thức này:

\[ \sin^2 a = 1 – \left( \frac{3}{5} \right)^2 \]

\[ \sin^2 a = 1 – \frac{9}{25} \]

\[ \sin^2 a = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} \]

\[ \sin^2 a = \frac{16}{25} \]

Để tìm sin a, chúng ta lấy căn bậc hai của kết quả này. Lưu ý rằng, khi lấy căn bậc hai, chúng ta sẽ có hai trường hợp: dương và âm.

\[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} \]

\[ \sin a = \pm \frac{4}{5} \]

Ở đây, chúng ta có hai giá trị có thể của sin a là 4/5 và -4/5. Đề bài không cho biết góc a thuộc góc phần tư nào, nên chúng ta phải xét cả hai trường hợp này.

Bước 2: Xét trường hợp 1: sin a = 4/5.

Trong trường hợp này, chúng ta đã có:
cos a = 3/5
sin a = 4/5

Bây giờ, chúng ta sẽ tính tan a và cot a.

Công thức tính tan a là:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Thay giá trị sin a và cos a vào:

\[ \tan a = \frac{4/5}{3/5} \]

\[ \tan a = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} \]

\[ \tan a = \frac{4}{3} \]

Tiếp theo, chúng ta tính cot a. Có hai cách để tính cot a:

Cách 1: Sử dụng công thức định nghĩa.

\[ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \]

Thay giá trị sin a và cos a vào:

\[ \cot a = \frac{3/5}{4/5} \]

\[ \cot a = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} \]

\[ \cot a = \frac{3}{4} \]

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa tan a và cot a.

\[ \cot a = \frac{1}{\tan a} \]

Vì tan a = 4/3, nên:

\[ \cot a = \frac{1}{4/3} \]

\[ \cot a = \frac{3}{4} \]

Như vậy, ở trường hợp 1, chúng ta có các giá trị:
cos a = 3/5
sin a = 4/5
tan a = 4/3
cot a = 3/4

Bước 3: Xét trường hợp 2: sin a = -4/5.

Trong trường hợp này, chúng ta có:
cos a = 3/5
sin a = -4/5

Bây giờ, chúng ta sẽ tính tan a và cot a.

Tính tan a:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

\[ \tan a = \frac{-4/5}{3/5} \]

\[ \tan a = \frac{-4}{5} \times \frac{5}{3} \]

\[ \tan a = -\frac{4}{3} \]

Tính cot a:

Cách 1: Sử dụng công thức định nghĩa.

\[ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \]

\[ \cot a = \frac{3/5}{-4/5} \]

\[ \cot a = \frac{3}{5} \times \frac{5}{-4} \]

\[ \cot a = -\frac{3}{4} \]

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa tan a và cot a.

\[ \cot a = \frac{1}{\tan a} \]

Vì tan a = -4/3, nên:

\[ \cot a = \frac{1}{-4/3} \]

\[ \cot a = -\frac{3}{4} \]

Như vậy, ở trường hợp 2, chúng ta có các giá trị:
cos a = 3/5
sin a = -4/5
tan a = -4/3
cot a = -3/4

Kết luận:

Dựa trên đề bài đã cho là cos a = 3/5, chúng ta có hai bộ giá trị lượng giác còn lại, tùy thuộc vào dấu của sin a:

Trường hợp 1:
sin a = 4/5
tan a = 4/3
cot a = 3/4

Trường hợp 2:
sin a = -4/5
tan a = -4/3
cot a = -3/4

Các em nhớ rằng, khi đề bài không cho biết góc a thuộc góc phần tư nào, chúng ta luôn phải xét cả hai khả năng dương và âm cho sin a và tan a, cot a (trừ khi đề bài có ràng buộc thêm).

Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước này, các em đã hiểu rõ cách giải dạng bài tập này. Chúng ta sẽ tiếp tục luyện tập thêm với nhiều ví dụ khác nữa nhé!