Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải một bài tập về dãy số theo đúng chương trình Toán lớp 11 của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhé. Bài tập này rất cơ bản và giúp chúng ta củng cố kiến thức về định nghĩa dãy số và cách xét tính tăng giảm của nó.

Chúng ta bắt đầu với phần a) nhé.

Phần a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số

Đề bài cho chúng ta công thức của số hạng thứ n của dãy số là:
\(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\), với \(n \in \mathbb{N}^*\).

Các em nhớ rằng, \(n \in \mathbb{N}^*\) có nghĩa là n nhận các giá trị là số tự nhiên khác 0, tức là \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\).

Để viết 6 số hạng đầu của dãy số, chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị của n từ 1 đến 6 vào công thức \(u_n\).

* Với \(n = 1\), ta có số hạng đầu tiên \(u_1\):
\(u_1 = \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}\)

* Với \(n = 2\), ta có số hạng thứ hai \(u_2\):
\(u_2 = \frac{1}{2(2+1)} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\)

* Với \(n = 3\), ta có số hạng thứ ba \(u_3\):
\(u_3 = \frac{1}{3(3+1)} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}\)

* Với \(n = 4\), ta có số hạng thứ tư \(u_4\):
\(u_4 = \frac{1}{4(4+1)} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}\)

* Với \(n = 5\), ta có số hạng thứ năm \(u_5\):
\(u_5 = \frac{1}{5(5+1)} = \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30}\)

* Với \(n = 6\), ta có số hạng thứ sáu \(u_6\):
\(u_6 = \frac{1}{6(6+1)} = \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42}\)

Vậy, 6 số hạng đầu của dãy số là: \(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}\).

Bây giờ chúng ta sang phần b) nhé.

Phần b) Xét tính tăng giảm của dãy số

Để xét tính tăng giảm của một dãy số \((u_n)\), chúng ta có hai cách phổ biến:

1. So sánh \(u_{n+1}\) với \(u_n\).
Nếu \(u_{n+1} > u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^\), thì dãy số đã cho là dãy số tăng.
Nếu \(u_{n+1} < u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^\), thì dãy số đã cho là dãy số giảm.
Nếu \(u_{n+1} = u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^\), thì dãy số đã cho là dãy số không đổi.

2. Xét dấu của hiệu \(u_{n+1} – u_n\).
Nếu \(u_{n+1} – u_n > 0\) (tức là \(u_{n+1} > u_n\)) với mọi \(n \in \mathbb{N}^\), thì dãy số là dãy số tăng.
Nếu \(u_{n+1} – u_n < 0\) (tức là \(u_{n+1} < u_n\)) với mọi \(n \in \mathbb{N}^\), thì dãy số là dãy số giảm.

Hoặc xét dấu của tỉ số \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) (chỉ áp dụng khi các số hạng của dãy đều dương).
Nếu \(\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^\), thì dãy số là dãy số tăng.
Nếu \(\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^\), thì dãy số là dãy số giảm.

Với bài tập này, các số hạng \(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\) luôn dương vì \(n \in \mathbb{N}^*\), nên \(n > 0\) và \(n+1 > 0\). Do đó, \(n(n+1) > 0\), suy ra \(u_n > 0\) với mọi \(n\). Vì vậy, chúng ta có thể dùng cả hai phương pháp. Tuy nhiên, phương pháp xét hiệu \(u_{n+1} – u_n\) hoặc tỉ số \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) thường cho kết quả rõ ràng hơn. Cô sẽ hướng dẫn các em theo phương pháp xét hiệu nhé.

Trước hết, chúng ta cần tìm công thức của số hạng \(u_{n+1}\). Ta thay \(n\) bằng \(n+1\) vào công thức \(u_n\):
\(u_{n+1} = \frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\)

Bây giờ, chúng ta xét hiệu \(u_{n+1} – u_n\):
\(u_{n+1} – u_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} – \frac{1}{n(n+1)}\)

Để trừ hai phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất là \(n(n+1)(n+2)\).
\(u_{n+1} – u_n = \frac{n}{n(n+1)(n+2)} – \frac{n+2}{n(n+1)(n+2)}\)
\(u_{n+1} – u_n = \frac{n – (n+2)}{n(n+1)(n+2)}\)
\(u_{n+1} – u_n = \frac{n – n – 2}{n(n+1)(n+2)}\)
\(u_{n+1} – u_n = \frac{-2}{n(n+1)(n+2)}\)

Bây giờ, chúng ta cần xét dấu của biểu thức \(\frac{-2}{n(n+1)(n+2)}\).
Vì \(n \in \mathbb{N}^*\), nên \(n \ge 1\).
Suy ra:
* \(n > 0\)
* \(n+1 > 0\)
* \(n+2 > 0\)

Do đó, tích \(n(n+1)(n+2) > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Mặt khác, tử số là \(-2\), là một số âm.

Vậy, biểu thức \(\frac{-2}{n(n+1)(n+2)}\) sẽ có dấu âm (âm chia cho dương).
\(u_{n+1} – u_n = \frac{-2}{n(n+1)(n+2)} < 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Vì \(u_{n+1} - u_n < 0\), điều này có nghĩa là \(u_{n+1} < u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Do đó, dãy số \((u_n)\) là một dãy số giảm. Cô có thể gợi ý thêm cho các em một cách nhìn khác dựa vào các số hạng đầu mà chúng ta đã tính ở phần a). \(u_1 = \frac{1}{2} = 0.5\) \(u_2 = \frac{1}{6} \approx 0.167\) \(u_3 = \frac{1}{12} \approx 0.083\) \(u_4 = \frac{1}{20} = 0.05\) \(u_5 = \frac{1}{30} \approx 0.033\) \(u_6 = \frac{1}{42} \approx 0.024\) Các em có thể thấy rõ ràng rằng các số hạng này ngày càng nhỏ đi, tức là dãy số đang giảm. Điều này hoàn toàn phù hợp với kết quả mà chúng ta đã chứng minh bằng phương pháp toán học. Các em về nhà ôn tập thêm các dạng bài tương tự và nhớ áp dụng đúng các công thức, quy tắc nhé. Nếu có gì chưa hiểu, đừng ngần ngại hỏi cô! Chúc các em học tốt!