Để tìm ra phát biểu đúng, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bản chất của vấn đề: Điều kiện để một đường tròn đi qua hai điểm A và B là gì?

Bước 1: Thiết lập cơ sở lý thuyết

Theo định nghĩa, một đường tròn là tập hợp các điểm cách đều một điểm cho trước (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).

Giả sử chúng ta có một đường tròn (O; R) đi qua hai điểm phân biệt A và B.

Khi đó, theo định nghĩa:

– Điểm A thuộc đường tròn nên khoảng cách từ tâm O đến A bằng bán kính R. Tức là: \(OA = R\).

– Điểm B thuộc đường tròn nên khoảng cách từ tâm O đến B cũng bằng bán kính R. Tức là: \(OB = R\).

Từ hai điều này, ta suy ra một tính chất cực kỳ quan trọng:
\[ OA = OB \]
Điều này có nghĩa là: Bất kỳ đường tròn nào đi qua hai điểm A và B thì tâm của nó phải cách đều hai điểm A và B.

Bây giờ, chúng ta hãy nhớ lại một kiến thức đã học ở lớp 7: “Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.”

Vậy, tập hợp tất cả các tâm O của các đường tròn đi qua A và B chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bước 2: Phân tích từng phương án

Với kiến thức vững chắc ở trên, chúng ta hãy xem xét từng phát biểu:

A. Có vô số đường tròn đi qua hai hai điểm A và B với tâm cách đều A và B

– Như chúng ta đã chứng minh, tâm của mọi đường tròn đi qua A và B đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

– Đường trung trực là một đường thẳng. Một đường thẳng thì chứa vô số điểm.

– Với mỗi điểm O bất kỳ trên đường trung trực của AB, ta luôn vẽ được một đường tròn tâm O, bán kính \(R = OA = OB\) đi qua hai điểm A và B.

– Vì có vô số điểm O trên đường trung trực nên sẽ có vô số đường tròn tương ứng.

=> Phát biểu này là ĐÚNG.

B. Ko có đường tròn nào đi qua A và B

– Phát biểu này rõ ràng là sai. Chúng ta luôn có thể lấy trung điểm M của AB làm tâm, vẽ đường tròn bán kính \(R = MA = MB\). Đây là đường tròn đường kính AB và nó đi qua cả A và B.

=> Phát biểu này là SAI.

C. Có duy nhất một đường tròn đi qua A, B là đường tròn đường kính AB

– Đường tròn đường kính AB đúng là một đường tròn đi qua A và B.

– Tuy nhiên, như đã phân tích ở câu A, ta có thể lấy bất kỳ điểm nào khác trên đường trung trực (không phải trung điểm của AB) để làm tâm và vẽ được một đường tròn khác cũng đi qua A và B.

– Vì vậy, từ “duy nhất” làm cho phát biểu này trở nên không chính xác.

=> Phát biểu này là SAI.

D. Có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B với tâm nằm trên đường thẳng AB

– Để một đường tròn đi qua A và B, tâm O của nó phải thỏa mãn \(OA = OB\).

– Nếu tâm O lại nằm trên đường thẳng AB, thì để \(OA = OB\), điểm O chỉ có thể là trung điểm của đoạn thẳng AB.

– Chỉ có duy nhất một trung điểm, do đó chỉ có duy nhất một đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng AB mà đi qua A và B (đó chính là đường tròn đường kính AB).

– Phát biểu nói “vô số” là không chính xác.

=> Phát biểu này là SAI.

Bước 3: Kết luận cuối cùng

Sau khi phân tích kỹ lưỡng tất cả các phương án, chúng ta có thể khẳng định chắc chắn rằng:

Đáp án đúng là A.

Các em hãy ghi nhớ kết luận quan trọng này nhé: Có vô số đường tròn đi qua hai điểm phân biệt cho trước. Tâm của các đường tròn này nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.