Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm phương trình tiếp tuyến tại hai điểm đặc biệt trên đồ thị: giao điểm với trục tung và giao điểm với trục hoành. Chúng ta sẽ đi từng bước một, thật chậm rãi để ai cũng có thể hiểu rõ nhé.

Đầu tiên, chúng ta có hàm số \(y = -x^3 + 3x + 2\) với đồ thị là (C).

Phần 1: Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

Để tìm giao điểm của đồ thị (C) với trục tung, chúng ta nhớ lại kiến thức về tọa độ trên hệ trục Oxy. Trục tung chính là trục Oy, và mọi điểm nằm trên trục tung đều có hoành độ bằng 0.

Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của (C) với trục tung.
Chúng ta thay \(x = 0\) vào phương trình hàm số để tìm tung độ tương ứng.
\(y = -(0)^3 + 3(0) + 2\)
\(y = 0 + 0 + 2\)
\(y = 2\)
Vậy, giao điểm của đồ thị (C) với trục tung có tọa độ là \(M(0, 2)\).

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số.
Để tìm phương trình tiếp tuyến, chúng ta cần hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. Hệ số góc này chính là giá trị của đạo hàm của hàm số tại điểm có hoành độ tương ứng.
Đạo hàm của hàm số \(y = -x^3 + 3x + 2\) là:
\(y’ = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 2)\)
\(y’ = -3x^2 + 3\)

Bước 3: Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm giao.
Chúng ta cần tính giá trị của đạo hàm \(y’\) tại điểm có hoành độ \(x = 0\) (hoành độ của điểm M).
\(y'(0) = -3(0)^2 + 3\)
\(y'(0) = 0 + 3\)
\(y'(0) = 3\)
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M(0, 2)\) là \(k = 3\).

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M(x_0, y_0)\) có dạng:
\(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\)
Trong đó, \(x_0 = 0\), \(y_0 = 2\), và \(f'(x_0) = y'(0) = 3\).
Thay các giá trị vào công thức, ta có:
\(y – 2 = 3(x – 0)\)
\(y – 2 = 3x\)
\(y = 3x + 2\)
Vậy, phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là \(y = 3x + 2\).

Phần 2: Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.

Để tìm giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành, chúng ta nhớ lại rằng trục hoành chính là trục Ox, và mọi điểm nằm trên trục hoành đều có tung độ bằng 0.

Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của (C) với trục hoành.
Chúng ta cho \(y = 0\) và giải phương trình:
\(0 = -x^3 + 3x + 2\)
Đây là một phương trình bậc ba. Để giải phương trình này, chúng ta thường thử nhẩm nghiệm bằng các ước của hệ số tự do (là 2). Các ước của 2 là \(\pm 1, \pm 2\).
Thử với \(x = -1\):
\(-(-1)^3 + 3(-1) + 2 = -(-1) – 3 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\)
Vậy, \(x = -1\) là một nghiệm của phương trình. Điều này có nghĩa là \((x + 1)\) là một nhân tử của đa thức \(-x^3 + 3x + 2\).
Chúng ta có thể chia đa thức này cho \((x + 1)\) hoặc tách hạng tử để phân tích. Ở đây, ta dùng phương pháp chia đa thức hoặc nhẩm:
\(-x^3 + 3x + 2 = -(x^3 – 3x – 2)\)
Nếu \(x = -1\) là nghiệm, ta có thể nhóm như sau:
\(-x^3 – x^2 + x^2 + x – 4x – 2\) (Cách này hơi phức tạp)
Ta có thể dùng phép chia đa thức:
(-x^3 + 0x^2 + 3x + 2) : (x + 1) = -x^2 + x – 2
-(-x^3 – x^2)
—————-
x^2 + 3x
-(x^2 + x)
———-
2x + 2
-(2x + 2)
———-
0
Vậy, phương trình trở thành \((x + 1)(-x^2 + x – 2) = 0\).
Bây giờ, chúng ta xét phương trình \(-x^2 + x – 2 = 0\).
Để biết phương trình này có nghiệm hay không, ta tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):
\(\Delta = b^2 – 4ac = (1)^2 – 4(-1)(-2) = 1 – 8 = -7\)
Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(-x^2 + x - 2 = 0\) vô nghiệm. Do đó, phương trình \(-x^3 + 3x + 2 = 0\) chỉ có một nghiệm duy nhất là \(x = -1\). Vậy, giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành có tọa độ là \(N(-1, 0)\). Bước 2: Đạo hàm của hàm số đã tính ở phần trước. \(y' = -3x^2 + 3\) Bước 3: Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm giao. Chúng ta cần tính giá trị của đạo hàm \(y'\) tại điểm có hoành độ \(x = -1\) (hoành độ của điểm N). \(y'(-1) = -3(-1)^2 + 3\) \(y'(-1) = -3(1) + 3\) \(y'(-1) = -3 + 3\) \(y'(-1) = 0\) Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(N(-1, 0)\) là \(k = 0\). Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến: \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\) Trong đó, \(x_0 = -1\), \(y_0 = 0\), và \(f'(x_0) = y'(-1) = 0\). Thay các giá trị vào công thức, ta có: \(y - 0 = 0(x - (-1))\) \(y = 0(x + 1)\) \(y = 0\) Vậy, phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành là \(y = 0\). Lưu ý: Khi hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0, phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng \(y = c\) (một hằng số). Trong trường hợp này, vì tiếp tuyến đi qua điểm có tung độ bằng 0, nên phương trình tiếp tuyến chính là \(y = 0\), trùng với trục hoành. Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán. Các em thấy đó, việc hiểu rõ từng bước và áp dụng đúng công thức là rất quan trọng. Hãy cố gắng luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!