Phương pháp giải chung:
Đối với bài toán về hệ hai thấu kính đặt đồng trục, chúng ta sẽ giải theo nguyên tắc “Ảnh tạo bởi thấu kính thứ nhất là vật của thấu kính thứ hai”. Cụ thể:

• Bước 1: Xác định ảnh \(A_1B_1\) tạo bởi thấu kính L1. Coi vật sáng AB là vật đối với L1. Áp dụng công thức thấu kính để tìm vị trí \(d’_1\) và số phóng đại \(k_1\).
• Bước 2: Xác định vật đối với thấu kính L2. Ảnh \(A_1B_1\) sẽ đóng vai trò là vật (vật thật hoặc vật ảo) đối với thấu kính L2. Ta cần xác định khoảng cách \(d_2\) từ vật này đến L2.
• Bước 3: Xác định ảnh cuối cùng A’B’ tạo bởi thấu kính L2. Áp dụng công thức thấu kính cho L2 để tìm vị trí ảnh cuối cùng \(d’_2\) và số phóng đại \(k_2\).
• Bước 4: Tổng kết các tính chất của ảnh cuối cùng A’B’ dựa trên \(d’_2\) và số phóng đại toàn hệ \(k = k_1 \cdot k_2\).

a, Xác định vị trí, tính chất, và chiều cao của ảnh A’B’ khi \(d_1 = 15 \text{ cm}\)

Bước 1: Xét sự tạo ảnh qua thấu kính L1 (hội tụ)
Ta có các dữ kiện cho thấu kính L1:

• Tiêu cự: \(f_1 = 6 \text{ cm}\)
• Khoảng cách từ vật đến thấu kính: \(d_1 = 15 \text{ cm}\)
• Chiều cao vật: \(AB = 1 \text{ cm}\)

Áp dụng công thức thấu kính để xác định vị trí của ảnh \(A_1B_1\) qua L1:
\[ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d’_1} \]
Thay số vào, ta có:
\[ \frac{1}{6} = \frac{1}{15} + \frac{1}{d’_1} \]
\[ \Rightarrow \frac{1}{d’_1} = \frac{1}{6} – \frac{1}{15} = \frac{5 – 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \]
\[ \Rightarrow d’_1 = 10 \text{ cm} \]
Vì \(d’_1 > 0\), ảnh \(A_1B_1\) là ảnh thật, nằm sau thấu kính L1 và cách L1 một khoảng 10 cm.

Số phóng đại qua thấu kính L1:
\[ k_1 = -\frac{d’_1}{d_1} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3} \]
Vì \(k_1 < 0\), ảnh \(A_1B_1\) ngược chiều với vật AB. Chiều cao của ảnh \(A_1B_1\): \[ A_1B_1 = |k_1| \cdot AB = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \text{ cm} \]
Bước 2: Xét sự tạo ảnh qua thấu kính L2 (phân kỳ)
Ảnh \(A_1B_1\) tạo bởi L1 sẽ là vật đối với thấu kính L2.

• Khoảng cách giữa hai thấu kính là \(l = 30 \text{ cm}\).
• Ảnh \(A_1B_1\) nằm sau L1 một khoảng 10 cm.

Do đó, khoảng cách từ vật \(A_1B_1\) đến thấu kính L2 là:
\[ d_2 = l – d’_1 = 30 – 10 = 20 \text{ cm} \]
Vì \(d_2 > 0\), \(A_1B_1\) là vật thật đối với L2.

Ta có các dữ kiện cho thấu kính L2:

• Tiêu cự: \(f_2 = -3 \text{ cm}\) (thấu kính phân kỳ)
• Khoảng cách từ vật đến thấu kính: \(d_2 = 20 \text{ cm}\)
• Chiều cao vật: \(A_1B_1 = \frac{2}{3} \text{ cm}\)

Áp dụng công thức thấu kính để xác định vị trí của ảnh cuối cùng A’B’ qua L2:
\[ \frac{1}{f_2} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d’_2} \]
Thay số vào, ta có:
\[ \frac{1}{-3} = \frac{1}{20} + \frac{1}{d’_2} \]
\[ \Rightarrow \frac{1}{d’_2} = -\frac{1}{3} – \frac{1}{20} = \frac{-20 – 3}{60} = -\frac{23}{60} \]
\[ \Rightarrow d’_2 = -\frac{60}{23} \approx -2.61 \text{ cm} \]
Vì \(d’_2 < 0\), ảnh cuối cùng A'B' là ảnh ảo, nằm trước thấu kính L2 và cách L2 một khoảng \(\frac{60}{23}\) cm. Số phóng đại qua thấu kính L2: \[ k_2 = -\frac{d'_2}{d_2} = -\frac{-60/23}{20} = \frac{60}{23 \cdot 20} = \frac{3}{23} \]
Bước 3: Tổng kết về ảnh cuối cùng A’B’

• Vị trí: Ảnh A’B’ là ảnh ảo, nằm trước L2 một khoảng \(\frac{60}{23} \text{ cm}\) (hay nằm giữa hai thấu kính, cách L1 một khoảng \(30 – \frac{60}{23} = \frac{630}{23} \approx 27.39 \text{ cm}\)).
• Tính chất và chiều:
  Số phóng đại của toàn hệ là: \(k = k_1 \cdot k_2 = (-\frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{23}) = -\frac{2}{23}\).
  Vì \(k < 0\), ảnh cuối cùng A'B' ngược chiều so với vật ban đầu AB.
• Chiều cao:
  Chiều cao của ảnh cuối cùng là: \(A’B’ = |k| \cdot AB = \frac{2}{23} \cdot 1 = \frac{2}{23} \approx 0.087 \text{ cm}\).

b, Xác định \(d_1\) để khi hoán vị hai thấu kính, vị trí của ảnh A’B’ không đổi

Đây là một câu hỏi nâng cao, đòi hỏi chúng ta phải thiết lập một phương trình dựa trên tính đối xứng. “Vị trí ảnh không đổi” có nghĩa là vị trí tuyệt đối của ảnh trong không gian không thay đổi. Điều này tương đương với việc khoảng cách từ ảnh cuối cùng đến thấu kính cuối cùng trong hai trường hợp là bằng nhau.

Trường hợp 1: L1 trước, L2 sau (như ban đầu)

• Ảnh qua L1: \(d’_1 = \frac{d_1 f_1}{d_1 – f_1}\)
• Vật đối với L2: \(d_2 = l – d’_1 = l – \frac{d_1 f_1}{d_1 – f_1}\)
• Ảnh cuối cùng qua L2, có vị trí so với L2 là \(d’_2\), được tính bởi: \(\frac{1}{d’_2} = \frac{1}{f_2} – \frac{1}{d_2}\).
  \[d’_2 = \frac{d_2 f_2}{d_2 – f_2} = \frac{(l – d’_1) f_2}{(l – d’_1) – f_2}\]

Trường hợp 2: L2 trước, L1 sau (hoán vị)
Vật AB vẫn đặt cách thấu kính thứ nhất (bây giờ là L2) một khoảng \(d_1\).

• Ảnh qua L2: \(d”_{2} = \frac{d_1 f_2}{d_1 – f_2}\)
• Vật đối với L1: \(d”_{1} = l – d”_{2} = l – \frac{d_1 f_2}{d_1 – f_2}\)
• Ảnh cuối cùng qua L1, có vị trí so với L1 là \(d”_1\), được tính bởi:
  \[d”_1 = \frac{d”_{1} f_1}{d”_{1} – f_1} = \frac{(l – d”_{2}) f_1}{(l – d”_{2}) – f_1}\]

Thiết lập phương trình:
Để vị trí ảnh cuối cùng không đổi, khoảng cách từ ảnh tới thấu kính cuối cùng trong hai trường hợp phải bằng nhau:
\[ d’_2 = d”_1 \]
\[ \frac{(l – d’_1) f_2}{(l – d’_1) – f_2} = \frac{(l – d”_{2}) f_1}{(l – d”_{2}) – f_1} \]
Sau một loạt các biến đổi đại số (khá phức tạp, các em có thể tham khảo thêm), phương trình này sẽ rút gọn thành một dạng đơn giản hơn. Một cách biến đổi là nhân chéo và rút gọn:
\[ (l – d’_1)f_2((l-d”_2) – f_1) = (l – d”_2)f_1((l-d’_1) – f_2) \]
\[ (l – d’_1)f_2(l-d”_2) – (l – d’_1)f_1f_2 = (l – d”_2)f_1(l-d’_1) – (l – d”_2)f_1f_2 \]
\[ (l-d’_1)(l-d”_2)(f_2 – f_1) = f_1f_2 ( (l-d’_1) – (l-d”_2) ) \]
\[ (l-d’_1)(l-d”_2)(f_2 – f_1) = f_1f_2 (d”_2 – d’_1) \]
Thay các biểu thức của \(d’_1\) và \(d”_2\) vào, ta sẽ thu được một phương trình bậc hai đối với \(d_1\):
\[ (d_1(l-f_1) – l f_1)(d_1(l-f_2) – l f_2) = f_1 f_2 d_1^2 \]

Bây giờ, chúng ta thay số vào phương trình này:

• \(l = 30 \text{ cm}\)
• \(f_1 = 6 \text{ cm}\)
• \(f_2 = -3 \text{ cm}\)

Ta có:

• \(l-f_1 = 30 – 6 = 24\)
• \(l-f_2 = 30 – (-3) = 33\)
• \(l f_1 = 30 \cdot 6 = 180\)
• \(l f_2 = 30 \cdot (-3) = -90\)
• \(f_1 f_2 = 6 \cdot (-3) = -18\)

Phương trình trở thành:
\[ (24d_1 – 180)(33d_1 – (-90)) = -18 d_1^2 \]
\[ (24d_1 – 180)(33d_1 + 90) = -18 d_1^2 \]
\[ 792d_1^2 + 2160d_1 – 5940d_1 – 16200 = -18d_1^2 \]
\[ 792d_1^2 – 3780d_1 – 16200 = -18d_1^2 \]
\[ 810d_1^2 – 3780d_1 – 16200 = 0 \]
Chia cả hai vế cho 90:
\[ 9d_1^2 – 42d_1 – 180 = 0 \]
Chia cả hai vế cho 3:
\[ 3d_1^2 – 14d_1 – 60 = 0 \]
Đây là phương trình bậc hai theo biến \(d_1\). Ta giải phương trình này:
\[ \Delta’ = (-7)^2 – 3 \cdot (-60) = 49 + 180 = 229 \]
Phương trình có hai nghiệm:
\[ d_1 = \frac{7 + \sqrt{229}}{3} \quad \text{hoặc} \quad d_1 = \frac{7 – \sqrt{229}}{3} \]
Vì \(d_1\) là khoảng cách từ vật thật đến thấu kính, nên \(d_1 > 0\). Ta thấy \(\sqrt{229} > \sqrt{49} = 7\), nên nghiệm thứ hai \(\frac{7 – \sqrt{229}}{3} < 0\) (loại). Vậy, giá trị \(d_1\) cần tìm là: \[ d_1 = \frac{7 + \sqrt{229}}{3} \approx 7.377 \text{ cm} \] Kết luận: Để vị trí của ảnh cuối cùng A’B’ không đổi khi hoán vị hai thấu kính, vật AB phải được đặt cách thấu kính thứ nhất một khoảng \(d_1 = \frac{7 + \sqrt{229}}{3}\) cm.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải bài toán hệ thấu kính cũng như cách xử lý các trường hợp phức tạp hơn. Chúc các em học tốt