Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về hình học không gian trong chương trình Toán lớp 12. Các em hãy tập trung và ghi bài đầy đủ nhé.

Bài tập của chúng ta như sau: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=2a, tam giác ABC vuông tại B, AB =a căn 3 và BC=a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng bao nhiêu độ?

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này từng bước một.

Bước 1: Xác định thông tin đã cho và yêu cầu của bài toán.

* Chúng ta có hình chóp S.ABC.
* SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điều này có nghĩa là SA là đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy (ABC).
* Độ dài SA là 2a.
* Tam giác ABC vuông tại B.
* Độ dài AB là \(a\sqrt{3}\).
* Độ dài BC là \(a\).
* Yêu cầu là tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

Bước 2: Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P).

Bước 3: Tìm hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABC).

Để tìm hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC), chúng ta cần xác định hình chiếu của điểm S và điểm C lên mặt phẳng (ABC).

* Điểm C nằm sẵn trong mặt phẳng (ABC), nên hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC) chính là điểm C.
* Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) đi qua A. Đặc biệt, SA vuông góc với AC và SA vuông góc với AB.
* Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC) chính là điểm A.

Vậy, hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AC.

Bước 4: Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

Dựa trên định nghĩa ở Bước 2 và kết quả ở Bước 3, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng AC. Góc này chính là góc SCA.

Bước 5: Tính độ dài các cạnh cần thiết để xác định góc SCA.

Chúng ta đã biết SA = 2a.
Chúng ta cần tìm độ dài AC. Tam giác ABC vuông tại B, với AB = \(a\sqrt{3}\) và BC = a.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(AC^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2\)
\(AC^2 = 3a^2 + a^2\)
\(AC^2 = 4a^2\)
\(AC = \sqrt{4a^2} = 2a\) (vì AC là độ dài nên AC > 0)

Bước 6: Tìm góc SCA trong tam giác vuông SAC.

Chúng ta có tam giác SAC.
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), mà AC nằm trong mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với AC.
Do đó, tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Trong tam giác vuông SAC, chúng ta đã biết:
* SA = 2a
* AC = 2a

Chúng ta muốn tìm góc SCA.
Trong tam giác vuông SAC, ta có:
tan(góc SCA) = (cạnh đối) / (cạnh kề) = SA / AC
tan(góc SCA) = (2a) / (2a)
tan(góc SCA) = 1

Bước 7: Kết luận.

Vì tan(góc SCA) = 1, suy ra góc SCA = \(45^\circ\).

Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \(45^\circ\).

Các em thấy không, bài toán này không quá khó nếu chúng ta nắm vững định nghĩa và thực hiện từng bước cẩn thận. Lần sau, khi gặp dạng bài tương tự, các em hãy nhớ lại các bước giải này nhé.