Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, cô và các em sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hình học không gian khá thú vị. Các em mở sách giáo khoa Toán lớp 11, tập 2, trang 76, bài tập số 3 nhé.

Đề bài cho chúng ta hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Yêu cầu là tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa vào các kiến thức đã học.

Bước 1: Xác định hình dạng của đáy và các cạnh của hình chóp.

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Điều này có nghĩa là:
– AB = BC = CD = DA = a
– Các góc ở đỉnh A, B, C, D đều bằng 90 độ.

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD) và đi qua chân đường vuông góc A. Cụ thể, SA vuông góc với AB, SA vuông góc với AD, SA vuông góc với AC, SA vuông góc với BD.

Bước 2: Nhận xét về mối quan hệ giữa điểm C và mặt phẳng (SAD).

Chúng ta cần tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD). Khoảng cách này là độ dài đoạn thẳng hạ vuông góc từ C xuống mặt phẳng (SAD).

Hãy quan sát mặt phẳng (SAD). Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm S, A, D. Vì SA vuông góc với (ABCD) và AD nằm trong (ABCD) nên SA vuông góc với AD. Như vậy, tam giác SAD là một tam giác vuông tại A.

Bước 3: Tìm một mặt phẳng chứa C và vuông góc với mặt phẳng (SAD).

Đây là bước quan trọng để đưa bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc.

Ta nhận thấy rằng đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và CD song song với AB.
Mặt khác, SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với CD.
Vì SA vuông góc với CD và AD vuông góc với CD (do ABCD là hình vuông), nên mặt phẳng (SAD) chứa SA và AD, mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC, mặt phẳng (SCD) chứa SC và CD.

Chúng ta cần tìm một mặt phẳng đi qua C và vuông góc với (SAD).
Xét mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng này chứa C.
Bây giờ, ta cần kiểm tra xem mặt phẳng (ABCD) có vuông góc với mặt phẳng (SAD) hay không.
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.

Chúng ta thấy rằng đường thẳng AD nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Mặt khác, AD cũng nằm trong mặt phẳng (SAD).
Kiểm tra xem AD có vuông góc với (SAD) hay không. Rõ ràng là không.

Hãy thử suy nghĩ theo hướng khác. Chúng ta cần tìm một mặt phẳng P chứa C sao cho P vuông góc với (SAD). Giao tuyến của P và (SAD) là một đường thẳng. Khi đó, khoảng cách từ C đến (SAD) sẽ bằng khoảng cách từ C đến giao tuyến đó.

Xét mặt phẳng (ABCD).
Ta có SA vuông góc với (ABCD).
Mặt phẳng (SAD) chứa SA và AD.
Đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Ta biết CD vuông góc với AD (vì ABCD là hình vuông).
Ta biết SA vuông góc với CD (vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)).
Do đó, CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau là SA và AD trong mặt phẳng (SAD).
Suy ra, CD vuông góc với mặt phẳng (SAD).

Vì CD vuông góc với mặt phẳng (SAD) mà điểm C nằm trên đường thẳng CD, nên khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) chính là độ dài của đoạn thẳng CD.

Bước 4: Tính khoảng cách.

Theo đề bài, ABCD là hình vuông cạnh a.
Do đó, độ dài cạnh CD là a.

Vậy, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) là CD = a.

Kết luận:

Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) bằng a.

Các em thấy đó, bài toán này có thể được giải quyết một cách tương đối nhẹ nhàng nếu chúng ta xác định đúng mối quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng. Quan trọng là phải hình dung được không gian và áp dụng đúng các định lý.

Các em về nhà xem lại bài, thử vẽ hình thật cẩn thận để hiểu rõ hơn nhé. Nếu có gì chưa rõ, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!