Cho hình chóp SABCD.Đáy ABCD là hình chữ nhật.SA vuống góc với đáy ABCD. AB=3a ,…
Chúng ta có hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy ABCD. AB = 3a, AD = 4a. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 độ.
Chúng ta sẽ lần lượt đi giải quyết từng câu hỏi:
1. Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SAD)
Trước hết, chúng ta cần xác định mặt phẳng (SAD). Mặt phẳng này chứa các điểm S, A, D.
Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD), chúng ta cần tìm:
– Điểm C’.
– Giao điểm I của SC với mặt phẳng (SAD).
– Hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD).
Tuy nhiên, cách tiếp cận trực tiếp để tìm hình chiếu của C lên (SAD) có thể phức tạp. Chúng ta hãy thử sử dụng tính chất của mặt phẳng.
Ta nhận thấy rằng SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA vuông góc với AD và SA vuông góc với AB.
Mặt phẳng (SAD) chứa SA và AD.
Mặt phẳng (SBC) chứa SA và AB.
Chúng ta cần tìm góc giữa SC và mặt phẳng (SAD).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Chúng ta cần tìm hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD).
Xét mặt phẳng (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD) và đi qua A.
Hãy suy nghĩ về cách tạo ra một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAD).
Ta có SA vuông góc với AD.
Để tìm góc giữa SC và mặt phẳng (SAD), ta cần tìm hình chiếu của điểm C lên mặt phẳng (SAD).
Ta xét mặt phẳng (ABCD). Gọi C’ là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD).
Do SA vuông góc với (ABCD), nên SA vuông góc với CD và SA vuông góc với BC.
Để đơn giản hóa, chúng ta hãy tìm một đường thẳng qua C mà vuông góc với mặt phẳng (SAD). Điều này không dễ.
Chúng ta hãy xem xét mối quan hệ của điểm C với mặt phẳng (SAD).
Ta có mặt phẳng (SAD).
Ta có đường thẳng SC.
Để tìm góc giữa SC và mặt phẳng (SAD), ta cần tìm một điểm M trên SC sao cho CM vuông góc với (SAD).
Hoặc, ta tìm hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD).
Hãy thử suy nghĩ theo hướng khác.
Ta có SA vuông góc với AD.
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có AD vuông góc với CD.
Trong mặt phẳng (SAD), ta có SA vuông góc với AD.
Chúng ta cần tìm góc giữa SC và mặt phẳng (SAD).
Góc này sẽ là góc giữa SC và giao tuyến của SC với mặt phẳng (SAD), sau đó chiếu C lên mặt phẳng (SAD).
Hãy xét mặt phẳng chứa SC và vuông góc với (SAD). Điều này cũng không dễ tìm.
Chúng ta hãy quay lại với định nghĩa. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
Ta cần tìm hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD).
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có CD vuông góc với AD.
Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA vuông góc với CD.
Như vậy, CD là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Mặt phẳng (SAD) chứa đường thẳng AD.
Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA vuông góc với AD.
Trong mặt phẳng (SAD), ta có AD là một đường thẳng. SA cũng là một đường thẳng.
Hãy xem xét mặt phẳng (SAD). Đường thẳng AD nằm trong mặt phẳng (SAD).
Đường thẳng SA nằm trong mặt phẳng (SAD).
Nếu ta có một điểm C, ta cần tìm hình chiếu của C lên (SAD).
Ta có SA vuông góc với đáy ABCD.
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có CD vuông góc với AD.
Ta có SC.
Hãy suy nghĩ về giao tuyến. Giao tuyến của SC và (SAD) là điểm S.
Vậy, góc giữa SC và (SAD) sẽ là góc giữa SC và một đường thẳng nào đó vuông góc với (SAD).
Chúng ta có SA vuông góc với AD.
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có AD vuông góc với CD.
Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA vuông góc với CD.
Consider the plane containing SC and perpendicular to (SAD). This is difficult.
Let’s rethink. The angle between line SC and plane (SAD).
We need to find the projection of C onto the plane (SAD).
Let’s denote this projection as C’. The angle is then the angle between SC and SC’.
We are given that the angle between SC and the plane (ABCD) is 60 degrees.
Let C” be the projection of C onto the plane (ABCD). Since SA is perpendicular to (ABCD), C” is the point C itself if C is in (ABCD).
However, C is a vertex of the pyramid.
Let’s be careful. The angle between SC and plane (ABCD) is 60 degrees.
This means that if we drop a perpendicular from C to the plane (ABCD), say at point C_proj, then the angle SCC_proj is 60 degrees.
But C is already a point in the plane (ABCD). This statement implies that there is a misunderstanding of the problem statement or a typo.
Let’s re-read: “Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD =60*”.
This means that if we drop a perpendicular from C to (ABCD), say at C itself, and then project S onto (ABCD) at A, the angle is not defined this way.
Let’s assume that the angle between SC and the plane ABCD is the angle between SC and its projection onto ABCD.
Since SA is perpendicular to ABCD, A is the projection of S onto ABCD.
Let’s drop a perpendicular from C to the plane ABCD. This perpendicular is C itself.
This means the angle between SC and the plane ABCD is the angle between SC and its projection on ABCD.
The projection of SC on ABCD is the line segment connecting C to the projection of S on ABCD, which is A.
So, the angle between SC and the plane (ABCD) is the angle between SC and AC.
Let’s verify this.
Let P be a plane. The angle between a line L and a plane P is the angle between L and its projection L’ onto P.
Here, L is SC. P is the plane (ABCD).
The projection of S onto (ABCD) is A (since SA is perpendicular to (ABCD)).
The projection of C onto (ABCD) is C itself.
So, the projection of the line segment SC onto the plane (ABCD) is the line segment AC.
Thus, the angle between SC and the plane (ABCD) is the angle between SC and AC.
So, angle SCA = 60 degrees.
Now, let’s address question 1: Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SAD).
The plane (SAD) contains the line SA and the line AD.
We need to find the projection of C onto the plane (SAD).
Let’s consider the point C. We want to find its projection C’ on the plane (SAD).
Since SA is perpendicular to (ABCD), SA is perpendicular to AD and SA is perpendicular to AB.
We are given AB = 3a and AD = 4a.
Since ABCD is a rectangle, CD = AB = 3a and BC = AD = 4a.
In the plane (ABCD), consider the right triangle SAC.
We know angle SCA = 60 degrees.
We need to find the length of SA.
In triangle SAC, we have AC is the diagonal of the rectangle ABCD.
Using Pythagorean theorem in triangle ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3a)^2 + (4a)^2 = 9a^2 + 16a^2 = 25a^2.
So, AC = 5a.
Now, in the right triangle SAC (since SA is perpendicular to the plane ABCD, SA is perpendicular to AC):
tan(SCA) = SA / AC
tan(60*) = SA / (5a)
SA = 5a tan(60) = 5a * sqrt(3).
Now, let’s find the angle between SC and the plane (SAD).
We need the projection of C onto the plane (SAD).
The plane (SAD) is formed by SA and AD.
Since SA is perpendicular to AD, the plane (SAD) is a plane containing two perpendicular lines.
Let’s try to find a line in (SAD) that is perpendicular to SC. This is difficult.
Let’s try to find the projection of C onto the plane (SAD).
Consider the plane (ABCD). We know SA is perpendicular to it.
The plane (SAD) contains SA and AD.
Let C’ be the projection of C onto (SAD).
Then CC’ is perpendicular to (SAD).
Consider the angle between SC and the plane (SAD). This is the angle between SC and SC’, where SC’ is the projection of SC onto (SAD).
The projection of S onto (SAD) is S itself.
The projection of C onto (SAD) is C’. So, the projection of SC onto (SAD) is SC’.
The angle we are looking for is the angle CSC’.
In the plane (ABCD), we have SA perpendicular to (ABCD).
So, SA is perpendicular to AD.
We have AD perpendicular to CD.
Consider the triangle SCD. We have SA perpendicular to CD.
Consider the triangle SAC. We have SA perpendicular to AC. Angle SCA = 60 degrees. SA = 5a * sqrt(3).
Let’s consider the plane (SAD).
We have SA and AD in this plane.
We want to find the angle between SC and (SAD).
Let’s consider the line CD. CD is perpendicular to AD.
Since SA is perpendicular to the plane (ABCD), SA is perpendicular to CD.
Consider the triangle SCD. SD is the hypotenuse.
SC^2 = SD^2 + CD^2 – 2 SD CD * cos(SDC). This is not helpful.
Let’s use coordinates. Let A be the origin (0,0,0).
Let AB lie along the x-axis, AD along the y-axis, and SA along the z-axis.
So, A = (0,0,0).
B = (3a, 0, 0).
D = (0, 4a, 0).
S = (0, 0, 5a * sqrt(3)).
C = (3a, 4a, 0).
Plane (SAD) is defined by points S(0, 0, 5a*sqrt(3)), A(0, 0, 0), D(0, 4a, 0).
The normal vector to the plane (SAD) can be found by taking the cross product of two vectors in the plane, e.g., AS = (0, 0, 5a*sqrt(3)) and AD = (0, 4a, 0).
AS x AD = (0 * 0 – 5a*sqrt(3) * 4a, 5a*sqrt(3) 0 – 0 0, 0 4a – 0 0) = ( -20a^2*sqrt(3), 0, 0).
Let’s take a simpler normal vector, e.g., (1, 0, 0). This is the x-axis.
This is incorrect. The plane (SAD) contains the y-axis and the z-axis. Its equation is x = 0.
Let’s re-evaluate the coordinate system.
Let A = (0,0,0).
AB along x-axis: B = (3a, 0, 0).
AD along y-axis: D = (0, 4a, 0).
SA along z-axis: S = (0, 0, h), where h = SA.
We found SA = 5a * sqrt(3). So S = (0, 0, 5a*sqrt(3)).
C = (3a, 4a, 0).
Plane (SAD) contains points S(0, 0, 5a*sqrt(3)), A(0, 0, 0), D(0, 4a, 0).
This plane is the yz-plane. The equation of the plane (SAD) is x = 0.
The line SC passes through S(0, 0, 5a*sqrt(3)) and C(3a, 4a, 0).
The direction vector of SC is v_SC = C – S = (3a, 4a, -5a*sqrt(3)).
The angle theta between a line with direction vector v and a plane with normal vector n is given by:
sin(theta) = |v . n| / (|v| * |n|).
The normal vector to the plane x = 0 is n = (1, 0, 0).
|v_SC| = sqrt((3a)^2 + (4a)^2 + (-5a*sqrt(3))^2) = sqrt(9a^2 + 16a^2 + 25a^2 * 3) = sqrt(25a^2 + 75a^2) = sqrt(100a^2) = 10a.
|n| = sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1.
v_SC . n = (3a, 4a, -5a*sqrt(3)) . (1, 0, 0) = 3a 1 + 4a 0 + (-5a*sqrt(3)) * 0 = 3a.
sin(theta) = |3a| / (10a * 1) = 3a / 10a = 3/10.
theta = arcsin(3/10).
So, the angle between SC and the plane (SAD) is arcsin(3/10).
Let’s double check the initial assumption about angle SCA = 60 degrees.
“Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD =60*”.
The projection of S onto ABCD is A. The projection of C onto ABCD is C.
So the projection of line SC onto ABCD is line AC.
Thus, the angle between SC and (ABCD) is indeed the angle between SC and AC, which is angle SCA. So, angle SCA = 60 degrees is correct.
2. Tính số đo góc giữa SO và mặt phẳng (SAD)
O là tâm của hình chữ nhật ABCD.
Tọa độ của O: Trung điểm của AC.
A = (0,0,0), C = (3a, 4a, 0).
O = ((0+3a)/2, (0+4a)/2, (0+0)/2) = (3a/2, 2a, 0).
S = (0, 0, 5a*sqrt(3)).
O = (3a/2, 2a, 0).
Vector SO = O – S = (3a/2, 2a, -5a*sqrt(3)).
Plane (SAD) has equation x = 0. Normal vector n = (1, 0, 0).
|SO| = sqrt((3a/2)^2 + (2a)^2 + (-5a*sqrt(3))^2) = sqrt(9a^2/4 + 4a^2 + 75a^2) = sqrt(9a^2/4 + 16a^2/4 + 300a^2/4) = sqrt(325a^2/4) = a*sqrt(325)/2 = 5a*sqrt(13)/2.
|n| = 1.
SO . n = (3a/2, 2a, -5a*sqrt(3)) . (1, 0, 0) = 3a/2.
Let phi be the angle between SO and (SAD).
sin(phi) = |SO . n| / (|SO| * |n|) = |3a/2| / (5a*sqrt(13)/2 * 1) = (3a/2) / (5a*sqrt(13)/2) = 3 / (5*sqrt(13)).
phi = arcsin(3 / (5*sqrt(13))).
3. Tính số đo góc giữa SD và mặt phẳng (SBC)
Plane (SBC) contains points S(0, 0, 5a*sqrt(3)), B(3a, 0, 0), C(3a, 4a, 0).
We need to find a normal vector to this plane.
Vector SB = B – S = (3a, 0, -5a*sqrt(3)).
Vector SC = C – S = (3a, 4a, -5a*sqrt(3)).
Normal vector n = SB x SC =
| i j k |
| 3a 0 -5a*sqrt(3)|
| 3a 4a -5a*sqrt(3)|
n = i (0(-5a*sqrt(3)) – (-5a*sqrt(3))4a) – j (3a*(-5a*sqrt(3)) – (-5a*sqrt(3))3a) + k (3a*4a – 0*3a)
n = i * (20a^2*sqrt(3)) – j * (-15a^2*sqrt(3) + 15a^2*sqrt(3)) + k * (12a^2)
n = (20a^2*sqrt(3), 0, 12a^2).
We can simplify the normal vector by dividing by 4a^2: n = (5*sqrt(3), 0, 3).
Now consider the line SD.
Vector SD = D – S = (0, 4a, -5a*sqrt(3)).
|SD| = sqrt(0^2 + (4a)^2 + (-5a*sqrt(3))^2) = sqrt(16a^2 + 75a^2) = sqrt(91a^2) = a*sqrt(91).
|n| = sqrt((5*sqrt(3))^2 + 0^2 + 3^2) = sqrt(25*3 + 9) = sqrt(75 + 9) = sqrt(84) = 2*sqrt(21).
SD . n = (0, 4a, -5a*sqrt(3)) . (5*sqrt(3), 0, 3)
SD . n = 0 * 5*sqrt(3) + 4a * 0 + (-5a*sqrt(3)) * 3
SD . n = -15a*sqrt(3).
Let psi be the angle between SD and (SBC).
sin(psi) = |SD . n| / (|SD| * |n|)
sin(psi) = |-15a*sqrt(3)| / (a*sqrt(91) * 2*sqrt(21))
sin(psi) = (15a*sqrt(3)) / (2a sqrt(91 21))
sin(psi) = (15*sqrt(3)) / (2 * sqrt(1911))
sqrt(1911) = sqrt(3 637) = sqrt(3 7^2 13) = 7 sqrt(3 13) = 7 sqrt(39).
sin(psi) = (15*sqrt(3)) / (2 7 sqrt(39))
sin(psi) = (15*sqrt(3)) / (14 sqrt(3 13))
sin(psi) = (15*sqrt(3)) / (14 sqrt(3) sqrt(13))
sin(psi) = 15 / (14 * sqrt(13)).
psi = arcsin(15 / (14 * sqrt(13))).
4. Tính số đo góc giữa SB và mặt phẳng (SAC)
Plane (SAC) contains points S(0, 0, 5a*sqrt(3)), A(0, 0, 0), C(3a, 4a, 0).
We need a normal vector to this plane.
Vector SA = A – S = (0, 0, -5a*sqrt(3)).
Vector SC = C – S = (3a, 4a, -5a*sqrt(3)).
Normal vector n = SA x SC =
| i j k |
| 0 0 -5a*sqrt(3)|
| 3a 4a -5a*sqrt(3)|
n = i (0(-5a*sqrt(3)) – (-5a*sqrt(3))4a) – j (0*(-5a*sqrt(3)) – (-5a*sqrt(3))3a) + k (0*4a – 0*3a)
n = i * (20a^2*sqrt(3)) – j * (15a^2*sqrt(3)) + k * 0
n = (20a^2*sqrt(3), -15a^2*sqrt(3), 0).
We can simplify the normal vector by dividing by 5a^2: n = (4*sqrt(3), -3*sqrt(3), 0).
Now consider the line SB.
Vector SB = B – S = (3a, 0, -5a*sqrt(3)).
|SB| = sqrt((3a)^2 + 0^2 + (-5a*sqrt(3))^2) = sqrt(9a^2 + 75a^2) = sqrt(84a^2) = a*sqrt(84) = 2a*sqrt(21).
|n| = sqrt((4*sqrt(3))^2 + (-3*sqrt(3))^2 + 0^2) = sqrt(16*3 + 9*3) = sqrt(48 + 27) = sqrt(75) = 5*sqrt(3).
SB . n = (3a, 0, -5a*sqrt(3)) . (4*sqrt(3), -3*sqrt(3), 0)
SB . n = 3a * 4*sqrt(3) + 0 * (-3*sqrt(3)) + (-5a*sqrt(3)) * 0
SB . n = 12a*sqrt(3).
Let omega be the angle between SB and (SAC).
sin(omega) = |SB . n| / (|SB| * |n|)
sin(omega) = |12a*sqrt(3)| / (2a*sqrt(21) * 5*sqrt(3))
sin(omega) = (12a*sqrt(3)) / (10a sqrt(21 3))
sin(omega) = (12*sqrt(3)) / (10 * sqrt(63))
sin(omega) = (12*sqrt(3)) / (10 sqrt(9 7))
sin(omega) = (12*sqrt(3)) / (10 3 sqrt(7))
sin(omega) = (12*sqrt(3)) / (30 * sqrt(7))
sin(omega) = (2*sqrt(3)) / (5 * sqrt(7))
sin(omega) = (2*sqrt(21)) / 35.
omega = arcsin((2*sqrt(21)) / 35).
Các em thấy đấy, với sự hỗ trợ của hệ tọa độ, việc tính toán các góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trở nên rõ ràng và có hệ thống hơn. Quan trọng là chúng ta cần xác định đúng các vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Hy vọng qua bài giảng này, các em đã nắm vững hơn phương pháp giải các dạng toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Đáp án:
1) \(\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)\)
2) \(\left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)\)
3) \(\left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)\)
4) \(\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)\)
Giải thích các bước giải:
Gọi E là trung điểm AD; \(BM\bot AC=M\)
Ta có:
\({SA \bot \left( {ABCD} \right)}\)\(\Rightarrow A\) là hình chiếu của \(S\) trên \((ABCD)\)
\(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = {60^0}\)
Mà
\(\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = 3a;BC = 4a\\
\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\Delta SAC;\widehat {SAC} = {90^0};\widehat {SCA} = {60^0};AC = 5a\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a.\sqrt 3 \\
SC = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \dfrac{{5a}}{{\dfrac{1}{2}}} = 10a
\end{array} \right.
\end{array}\)
1) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot AD\\
CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\)
\(\Rightarrow D\) là hình chiếu của \(C\) trên \((SAD)\)
\( \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SC,SD} \right) = \widehat {CSD}\)
Lại có:\(\begin{array}{l}
\Delta SCD;\widehat {CDS} = {90^0}\left( {CD \bot \left( {SAD} \right)} \right);SC = 10a;CD = 3a\\
\Rightarrow \sin \widehat {CSD} = \dfrac{{CD}}{{SC}} = \dfrac{{3a}}{{10}} = \dfrac{3}{{10}}\\
\Rightarrow \widehat {CSD} = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)\\
\Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)\)
2) Ta có:
\(O,E\) lần lượt là trung điểm của \(AC,AD\)
\(\to OE\) là đường trung bình của tam giác ACD.
\(\to OE//CD; OE=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{3a}{2}\)
\(\to OE\bot (SAD)\) \(\to E\) là hình chiếu của O trên (SAD)
\( \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SO,SE} \right) = \widehat {OSE}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
\Delta SAO;\widehat {SAO} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{5a}}{2}\\
\Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} + O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{5a}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2}
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\Delta SOE;\widehat {SEO} = {90^0}\left( {OE \bot \left( {SAD} \right)} \right);SO = \dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2};OE = \dfrac{{3a}}{2}\\
\Rightarrow \sin \widehat {OSE} = \dfrac{{OE}}{{SO}} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}}}{{\dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2}}} = \dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}\\
\Rightarrow \widehat {OSE} = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)\\
\Rightarrow \left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)\)
3) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\
\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
AH \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)
\end{array}\)
Từ H kẻ đường thẳng song song với AD và lấy trên đường thẳng đó điểm N sao cho \(HN=AD\)
Ta có:
\(HN//AD;HN=AD \to AHND\) là hình bình hành.
\(\to ND//AH; ND=AH\)
Mà \(AH\bot (SBC)\to DN \bot (SBC)\) \(\to N\) là hình chiếu của D trên (SBC)
\( \Rightarrow \left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SD,SN} \right) = \widehat {DSN}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
\Delta SAB;\widehat {SAB} = {90^0};AH \bot SB = H;SA = 5a\sqrt 3 ;AB = 3a;SB = 2a\sqrt {21} \\
\Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{SB}} = \dfrac{{5a\sqrt 3 .3a}}{{2a\sqrt {21} }} = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }} \Rightarrow DN = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Delta SAD;\widehat {SAD} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AD = 4a\\
\Rightarrow SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = a\sqrt {91}
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\Delta SDN;\widehat {DNS} = {90^0}\left( {DN \bot \left( {SBC} \right)} \right);SD = a\sqrt {91} ;ND = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}\\
\Rightarrow \sin \widehat {DSN} = \dfrac{{DN}}{{SD}} = \dfrac{{\dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}}}{{a\sqrt {91} }} = \dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}\\
\Rightarrow \widehat {DSN} = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)\\
\Rightarrow \left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)\)
4) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
BM \bot AC\\
BM \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)\)
\( \Rightarrow M\) là hình chiếu của B trên (SAC)
\( \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,SM} \right) = \widehat {BSM}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = 3a;BC = 4a;AC = 5a;BM \bot AC = M\\
\Rightarrow BM = \dfrac{{AB.AC}}{{AC}} = \dfrac{{3a.4a}}{{5a}} = \dfrac{{12}}{5}
\end{array}\)
Và
\(\begin{array}{l}
\Delta SAB;\widehat {SAB} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AB = 3a\\
\Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 2a\sqrt {21}
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\Delta SBM;\widehat {SMB} = {90^0}\left( {BM \bot \left( {SAC} \right)} \right);SB = 2a\sqrt {21} ;BM = \dfrac{{12}}{5}a\\
\Rightarrow \sin \widehat {BSM} = \dfrac{{BM}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{12}}{5}a}}{{2a\sqrt {21} }} = \dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}\\
\Rightarrow \widehat {BSM} = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)\\
\Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)\)