Chào các em, thầy rất vui được cùng các em giải một bài toán hình học không gian rất hay và điển hình trong chương trình lớp 11 của chúng ta. Bài toán này giúp chúng ta ôn lại cách xác định và tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng bước thật chi tiết và rõ ràng nhé.

Bước 1: Xác định góc và thiết lập công thức tính sin

Gọi \( \alpha \) là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD).

Theo định nghĩa, góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (SBD). Khi đó, SH chính là hình chiếu của SC lên (SBD).

Vậy, góc giữa SC và (SBD) chính là góc \( \widehat{CSH} \).
Do đó, \( \alpha = \widehat{CSH} \).

Xét tam giác vuông \( \triangle CSH \) (vuông tại H), ta có:
\[ \sin \alpha = \sin(\widehat{CSH}) = \frac{CH}{SC} \]
Trong đó:

• \( CH \) chính là khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD), kí hiệu là \( d(C, (SBD)) \).
• \( SC \) là độ dài cạnh bên SC.

Như vậy, công thức của chúng ta là:
\[ \sin \alpha = \frac{d(C, (SBD))}{SC} \]
Bây giờ, chúng ta cần đi tính hai đại lượng: độ dài SC và khoảng cách \( d(C, (SBD)) \).

Bước 2: Tính độ dài cạnh SC

Do \( SA \perp (ABCD) \) nên \( SA \perp AC \). Suy ra tam giác \( \triangle SAC \) vuông tại A.
Theo định lý Pitago, ta có: \( SC^2 = SA^2 + AC^2 \).

Để tính AC, ta xét tam giác vuông \( \triangle ABC \) (vuông tại B vì ABCD là hình chữ nhật).
Theo định lý Pitago:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Suy ra \( AC = \sqrt{25} = 5 \).

Bây giờ, thay vào công thức tính SC:
\( SC^2 = SA^2 + AC^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26 \)
Vậy, \( SC = \sqrt{26} \).

Bước 3: Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

Việc tính trực tiếp khoảng cách từ C đến (SBD) khá phức tạp. Chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp gián tiếp thông qua điểm A, là chân đường cao của hình chóp.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD.
Đường thẳng AC cắt mặt phẳng (SBD) tại O.
Áp dụng định lý về tỉ số khoảng cách, ta có:
\[ \frac{d(C, (SBD))}{d(A, (SBD))} = \frac{CO}{AO} \]
Vì O là trung điểm của AC nên \( CO = AO \). Do đó, tỉ số trên bằng 1.
Suy ra: \( d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) \).

Bây giờ bài toán trở thành tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Đây là dạng toán rất quen thuộc “tính khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt bên”.

Ta thực hiện dựng khoảng cách như sau:
– Trong mặt phẳng đáy (ABCD), từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BD tại I. Tức là \( AI \perp BD \).
– Ta có: \( SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD \).
– Từ hai điều trên, ta có \( BD \perp (SAI) \).
– Trong mặt phẳng (SAI), từ A kẻ đường thẳng vuông góc với SI, cắt SI tại K. Tức là \( AK \perp SI \).
– Vì \( BD \perp (SAI) \) nên \( BD \perp AK \).
– Ta có \( AK \perp SI \) và \( AK \perp BD \). Do SI và BD là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SBD) nên \( AK \perp (SBD) \).
– Vậy, \( d(A, (SBD)) = AK \).

Bây giờ ta tính độ dài AK.
Xét tam giác vuông \( \triangle ABD \) (vuông tại A), AI là đường cao. Ta có hệ thức:
\[ \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AD^2} \]
Với \( AB=3 \) và \( AD=BC=4 \), ta có:
\[ \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{16+9}{144} = \frac{25}{144} \]
Suy ra \( AI^2 = \frac{144}{25} \).

Xét tam giác vuông \( \triangle SAI \) (vuông tại A), AK là đường cao. Ta có hệ thức:
\[ \frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AI^2} \]
Với \( SA=1 \) và \( \frac{1}{AI^2} = \frac{25}{144} \), ta có:
\[ \frac{1}{AK^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{25}{144} = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144+25}{144} = \frac{169}{144} \]
Suy ra \( AK^2 = \frac{144}{169} \), do đó \( AK = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \).

Vậy, \( d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) = AK = \frac{12}{13} \).

Bước 4: Tính giá trị sin của góc cần tìm

Ở Bước 1, chúng ta đã có công thức: \( \sin \alpha = \frac{d(C, (SBD))}{SC} \).
Bây giờ ta thay các giá trị đã tính ở Bước 2 và Bước 3 vào:
\[ \sin \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\sqrt{26}} = \frac{12}{13\sqrt{26}} \]
Để làm đẹp kết quả, ta có thể trục căn thức ở mẫu:
\[ \sin \alpha = \frac{12\sqrt{26}}{13 \cdot 26} = \frac{12\sqrt{26}}{338} = \frac{6\sqrt{26}}{169} \]
Tuy nhiên, để ở dạng \( \frac{12}{13\sqrt{26}} \) cũng đã là một kết quả đúng.

Kết luận

Vậy, giá trị sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) bằng \( \frac{12}{13\sqrt{26}} \).

Đây là một bài toán tổng hợp nhiều kiến thức quan trọng. Các em hãy xem lại thật kỹ các bước dựng hình và các hệ thức lượng trong tam giác vuông, chúng rất hữu ích. Chúc các em học tốt