Cho hình thang ABCD có AB//CD và AB<CD. Đường thẳng song song với đáy AB cắt …
a) MA/AD = NB/BC
b) MA/MD = NB/NC
c) MD/DA = NC/CB
giúp mình vs mình cần gấp!!!!
Đề bài cho chúng ta hình thang ABCD với AB song song với CD và AB nhỏ hơn CD. Có một đường thẳng song song với đáy AB, cắt cạnh bên AD tại M và cạnh bên BC tại N. Chúng ta cần chứng minh ba điều:
a) Tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên cạnh AD bằng tỉ lệ tương ứng trên cạnh BC.
b) Tỉ lệ giữa các đoạn thẳng chia ra trên cạnh AD bằng tỉ lệ tương ứng trên cạnh BC.
c) Tỉ lệ giữa các đoạn thẳng “ngược” trên cạnh AD bằng tỉ lệ tương ứng trên cạnh BC.
Chúng ta sẽ đi lần lượt từng phần.
Phần a) Chứng minh MA/AD = NB/BC
Để chứng minh tỉ lệ này, chúng ta sẽ nghĩ đến định lý Thales (hay còn gọi là định lý về đường thẳng song song cắt các cạnh của tam giác, hoặc hệ quả của nó). Tuy nhiên, ở đây chúng ta có hình thang, chưa có tam giác rõ ràng để áp dụng trực tiếp.
Chúng ta sẽ kẻ thêm một đường chéo để tạo ra các tam giác. Kẻ đường chéo AC.
Gọi giao điểm của MN và AC là P.
Vì MN song song với AB và AB song song với CD, nên MN cũng song song với CD.
Xét tam giác ADC, ta có MP song song với DC (vì MN song song với CD).
Theo định lý Thales trong tam giác ADC, ta có:
MP/DC = AP/AC = MD/AD (1)
Bây giờ, xét tam giác ABC, ta có PN song song với AB.
Theo định lý Thales trong tam giác ABC, ta có:
PN/AB = PC/AC = NB/BC (2)
Ở đây, chúng ta gặp một chút khó khăn vì chúng ta có MP/DC và PN/AB, nhưng đề bài yêu cầu so sánh MA/AD và NB/BC. Chúng ta cần liên kết lại.
Thầy có một ý tưởng khác, có lẽ sẽ trực tiếp hơn. Chúng ta hãy kéo dài hai cạnh bên AD và BC cắt nhau tại một điểm, giả sử là điểm K. Khi đó, chúng ta sẽ có các tam giác đồng dạng.
Kéo dài AD và BC cắt nhau tại K.
Vì AB song song với CD, nên tam giác KAB đồng dạng với tam giác KDC.
Từ đó ta có tỉ lệ:
KA/KD = KB/KC = AB/DC (Đây là tính chất của hai tam giác đồng dạng).
Bây giờ, xét tam giác KDC. Đường thẳng MN song song với DC và cắt KD tại M, KC tại N.
Theo định lý Thales (áp dụng cho đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác KDC), ta có:
KM/KD = KN/KC = MN/DC
Từ KA/KD = KB/KC và KM/KD = KN/KC, chúng ta chưa suy ra trực tiếp được MA/AD = NB/BC.
Thầy quay lại ý tưởng dùng đường chéo, nhưng lần này chúng ta sẽ khai thác thông tin đường thẳng MN song song với đáy một cách trực tiếp hơn.
Xét tam giác ADC, ta có MP song song với CD.
Áp dụng định lý Thales cho tam giác ADC, ta có:
AM/AD = AP/AC (Do MP // DC)
Bây giờ, xét tam giác ABC. Chúng ta muốn liên kết với NB/BC.
Ta có PN song song với AB.
Áp dụng định lý Thales cho tam giác ABC, ta có:
CN/CB = CP/CA (Do PN // AB) Chú ý: Ở đây thầy dùng CN/CB, không phải NB/BC.
Điều này chưa khớp. Thầy xin lỗi, thầy đã có một chút nhầm lẫn trong cách áp dụng Thales.
Chúng ta hãy trở lại với việc kẻ đường chéo AC và gọi giao điểm với MN là P.
Vì MN // CD và MN // AB.
Xét tam giác ADC, MP // CD.
Theo định lý Thales:
AM/MD = AP/PC (3)
Và MD/AD = PC/AC (4)
Xét tam giác ABC, PN // AB.
Theo định lý Thales:
CN/NB = CP/PA (5)
Và NB/BC = CP/AC (6)
Bây giờ chúng ta có thể ghép nối.
Từ (4) và (6), ta thấy cả hai đều bằng PC/AC.
Do đó: MD/AD = NB/BC.
Nhưng đề bài yêu cầu chứng minh MA/AD = NB/BC.
Chúng ta có:
MA = AD – MD
Từ MD/AD = NB/BC, ta suy ra MD = AD * (NB/BC).
Vậy MA = AD – AD (NB/BC) = AD (1 – NB/BC) = AD (BC – NB)/BC = AD (NC/BC).
Thay vào tỉ lệ cần chứng minh:
MA/AD = [AD * (NC/BC)] / AD = NC/BC.
Chúng ta cần chứng minh MA/AD = NB/BC.
Thầy xin lỗi các em, thầy đã đi hơi vòng vo. Cách tiếp cận ban đầu với đường chéo là đúng hướng nhưng cách suy luận cần chính xác hơn.
Chúng ta hãy thử một cách khác, sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Kẻ đường chéo AC, gọi giao điểm với MN là P.
Vì MN // AB // CD.
Xét tam giác ADC, MP // CD.
Theo định lý Thales:
AM/AD = AP/AC (7)
Xét tam giác ABC, PN // AB.
Theo định lý Thales:
CN/CB = CP/CA (8)
Ta có AP + PC = AC.
Từ (7), AM = AD * (AP/AC).
Từ (8), CN = CB * (CP/CA).
Chúng ta cần MA/AD = NB/BC.
Chúng ta có: AM/AD = AP/AC.
Chúng ta cần chứng minh AP/AC = NB/BC.
Thầy xin phép lùi lại một chút và suy nghĩ về cách áp dụng Thales một cách trực tiếp hơn.
Bây giờ, ta sẽ sử dụng một tính chất rất quan trọng của đường thẳng song song với hai đáy của hình thang.
Kẻ đường chéo AC. Gọi giao điểm của MN với AC là P.
Vì MN // AB // CD.
Xét tam giác ADC, MP // CD.
Theo hệ quả của định lý Thales:
AM/AD = AP/AC (7)
Xét tam giác ABC, PN // AB.
Theo hệ quả của định lý Thales:
CN/CB = CP/CA (8)
Chúng ta có AP + PC = AC.
Chia cả hai vế của (7) cho AP: 1/AD = 1/AM * (AP/AC).
Chia cả hai vế của (8) cho CN: 1/CB = 1/CN * (CP/CA).
Điều này vẫn chưa đưa ta đến kết quả.
Thầy xin phép sử dụng một bổ đề hoặc một tính chất đã được chứng minh: Nếu một đường thẳng song song với hai đáy của hình thang thì nó chia các cạnh bên theo tỉ lệ bằng nhau.
Cách 1: Dùng tam giác đồng dạng (kéo dài hai cạnh bên)
Kéo dài AD và BC cắt nhau tại K.
Tam giác KAB đồng dạng với tam giác KDC (do AB // CD).
Suy ra: KA/KD = KB/KC = AB/DC.
Xét tam giác KDC, đường thẳng MN song song với DC.
Theo định lý Thales:
KM/KD = KN/KC = MN/DC.
Ta có:
KA/KD = KM/KD => KA = KM. Điều này không đúng. KA là toàn bộ đoạn từ K đến A, KM là đoạn từ K đến M.
Mà M nằm trên AD, nên A nằm giữa K và M, hoặc M nằm giữa K và A.
Vì AB < CD, nên M nằm giữa K và A, N nằm giữa K và B.
Do đó, KA/KD = KM/KD (là sai). Phải là KA/KA = KM/KM.
Chính xác là: KA/KD = KB/KC.
Và KM/KD = KN/KC.
Từ KA/KD = KB/KC, suy ra:
(KM + MA)/KD = (KN + NB)/KC
KM/KD + MA/KD = KN/KC + NB/KC.
Vì KM/KD = KN/KC, nên ta suy ra:
MA/KD = NB/KC.
Đây là tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên cạnh bên với đoạn "lớn" của cạnh bên (tính từ đỉnh K).
Để có MA/AD, ta cần chia cả hai vế cho KD/AD.
Ta có MA/KD = NB/KC.
Chúng ta muốn MA/AD = NB/BC.
Thầy xin phép bỏ qua cách này vì nó hơi phức tạp.
Cách 2: Dùng đường chéo và định lý Thales (Cách này thầy tin là sẽ hiệu quả nhất cho chương trình lớp 8)
Kẻ đường chéo AC. Gọi giao điểm của MN với AC là P.
Vì MN // AB // CD.
Xét tam giác ADC, MP // CD.
Theo định lý Thales:
AM/MD = AP/PC (9)
Và AD/MD = AC/PC => MD/AD = PC/AC (10)
Xét tam giác ABC, PN // AB.
Theo định lý Thales:
CN/NB = CP/PA (11)
Và BC/NB = AC/PA => NB/BC = PA/AC (12)
Bây giờ chúng ta ghép nối.
Từ (10), ta có MD/AD = PC/AC.
Từ (12), ta có NB/BC = PA/AC.
Chúng ta cần chứng minh MA/AD = NB/BC.
Ta có MA = AD – MD.
Vậy MA/AD = (AD – MD)/AD = 1 – MD/AD.
Từ (10), MD/AD = PC/AC.
Suy ra MA/AD = 1 – PC/AC = (AC – PC)/AC = AP/AC.
Vậy ta đã có MA/AD = AP/AC.
Và từ (12), ta có NB/BC = PA/AC.
Do đó, MA/AD = NB/BC. (Đã chứng minh xong phần a))
Phần b) Chứng minh MA/MD = NB/NC
Chúng ta đã có các kết quả từ định lý Thales khi kẻ đường chéo AC:
Từ (9): AM/MD = AP/PC
Từ (11): CN/NB = CP/PA => NB/CN = PA/CP
Ta thấy AP/PC xuất hiện ở cả hai biểu thức.
Từ (9), ta có AM/MD = AP/PC.
Từ (11), ta có NB/CN = PA/CP. Vì PA/CP = AP/PC, nên NB/CN = AP/PC.
Vậy, AM/MD = NB/CN. (Đã chứng minh xong phần b))
Lưu ý: Trong quá trình chứng minh phần b), thầy đã đảo ngược tỉ lệ CN/NB thành NB/CN. Điều này hoàn toàn hợp lệ vì nếu a/b = c/d thì b/a = d/c.
Phần c) Chứng minh MD/DA = NC/CB
Chúng ta sẽ sử dụng lại các kết quả đã có.
Từ (10): MD/AD = PC/AC
Từ (8): CN/CB = CP/CA
Ta thấy PC/AC và CP/CA là giống nhau.
Do đó, MD/AD = CN/CB. (Đã chứng minh xong phần c))
Tóm lại các bước chính đã sử dụng:
1. Kẻ đường chéo AC để chia hình thang thành hai tam giác.
2. Sử dụng định lý Thales (hệ quả của định lý đường thẳng song song cắt các cạnh của tam giác) cho các tam giác ADC và ABC với đường thẳng MN song song với đáy.
3. Kết hợp các tỉ lệ thức thu được từ định lý Thales để chứng minh các yêu cầu của đề bài.
Các em thấy đó, với hình học, việc kẻ thêm đường phụ là rất quan trọng để tạo ra các hình tam giác quen thuộc, từ đó áp dụng các định lý đã học. Bài toán này giúp chúng ta củng cố vững chắc định lý Thales và tính chất của hình thang.
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé. Chúc các em học tốt!
Giải thích các bước giải:
a. Gọi E là giao điểm của AD và BC.
Trong ∆ EMN, ta có: AB // MN (gt)
⇒ \({{EA} \over {MA}} = {{EB} \over {NB}}\) (đlý talet)
hay \({{EA} \over {EB}} = {{MA} \over {NB}}\) (1)
Trong ∆ EDC, ta có: AB // CD (gt)
⇒ \({{EA} \over {AD}} = {{EB} \over {BC}}\) (đly ta let)
hay \({{EA} \over {EB}} = {{AD} \over {BC}}\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ \({{MA} \over {NB}} = {{AD} \over {BC}} \Rightarrow {{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\)
b,
ta có \({{MA} \over {AD}} = {{NB} \over {BC}}\)
ad t/c của dãy tỉ số bằng nhau
\({{MA} \over {AD – MA}} = {{NB} \over {BC – NB}} \Rightarrow {{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\)
c,
ta có \({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}}\)
ad t/c của dãy tỉ số bằng nhau
\({{MA} \over {MD}} = {{NB} \over {NC}} \Rightarrow {{MD} \over {MA + MD}} = {{NC} \over {NB + NC}} \Rightarrow {{MD} \over {DA}} = {{NC} \over {CB}}\)