Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ) có MN=MQ và góc MNQ=30 độ. Góc NPQ bằng
Đề bài cho chúng ta hình thang cân MNPQ với MN // PQ, MN = MQ và góc MNQ = 30 độ. Yêu cầu tính góc NPQ.
Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này từng bước một, đảm bảo đúng theo kiến thức đã học ở lớp 8.
Bước 1: Xác định các tính chất của hình thang cân
Các em còn nhớ hình thang cân có những tính chất gì không?
Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.
Ngoài ra, hình thang cân còn có các tính chất sau mà chúng ta đã được học:
– Hai góc kề một đáy bằng nhau.
– Hai đường chéo bằng nhau.
Trong bài toán này, chúng ta có hình thang cân MNPQ với MN // PQ.
Như vậy, PQ và MN là hai đáy. MQ và NP là hai cạnh bên.
Theo đề bài, hình thang cân này có thêm điều kiện đặc biệt là MN = MQ.
Và chúng ta cũng biết rằng MN // PQ.
Bước 2: Vận dụng các tính chất để suy luận về các góc
Vì MNPQ là hình thang cân, nên ta có các cặp góc kề một đáy bằng nhau:
– Góc MNP = Góc QPN (hai góc kề đáy NP)
– Góc PMN = Góc PQN (hai góc kề đáy PQ)
Tuy nhiên, đề bài lại cho thông tin về MN = MQ.
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Ở đây, MN là đáy nhỏ, MQ là cạnh bên.
Khi cạnh bên bằng một đáy, điều này gợi ý cho chúng ta điều gì đặc biệt?
Vì MN // PQ, nên MQ và NP là hai cạnh bên của hình thang.
Đề bài cho MN = MQ.
Điều này có nghĩa là đáy nhỏ MN bằng cạnh bên MQ.
Và vì là hình thang cân nên cạnh bên MQ = cạnh bên NP.
Suy ra, MN = MQ = NP.
Bây giờ, chúng ta hãy xem xét tam giác MNQ.
Tam giác MNQ có MN = MQ (theo giả thiết).
Vậy tam giác MNQ là tam giác cân tại đỉnh M.
Trong tam giác cân MNQ, hai góc ở đáy là góc MNQ và góc MQN sẽ bằng nhau.
Ta có góc MNQ = 30 độ (theo giả thiết).
Suy ra, góc MQN = góc MNQ = 30 độ.
Bước 3: Tính các góc còn lại trong tam giác MNQ
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ.
Áp dụng cho tam giác MNQ, ta có:
Góc NMQ + Góc MNQ + Góc MQN = 180 độ
Góc NMQ + 30 độ + 30 độ = 180 độ
Góc NMQ + 60 độ = 180 độ
Góc NMQ = 180 độ – 60 độ
Góc NMQ = 120 độ.
Bước 4: Sử dụng tính chất của hình thang để tìm góc NPQ
Chúng ta đã biết MN // PQ.
Vì MN // PQ, nên góc MNQ và góc NPQ là hai góc trong cùng phía, tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
Tuy nhiên, MNQ không phải là góc trong cùng phía với NPQ.
Hãy xem xét một cách khác.
Vì MN // PQ, chúng ta có thể sử dụng các góc xen kề bù hoặc so le trong khi có đường cắt.
Quan sát hình vẽ (hoặc tự vẽ hình), ta thấy đường chéo NQ cắt hai đáy MN và PQ.
Nhưng góc MNQ = 30 độ không phải là góc so le trong hay đồng vị với góc NPQ.
Chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa góc đã biết (30 độ) và góc cần tìm (NPQ).
Hãy nhớ lại tính chất của hình thang cân: hai góc kề một đáy bằng nhau.
Chúng ta có góc PQN và góc NPQ là hai góc kề đáy PQ.
Vậy, nếu tính được góc PQN, chúng ta sẽ tính được góc NPQ.
Bây giờ, chúng ta cần tìm góc PQN.
Ta đã có góc MQN = 30 độ.
Góc PQN là góc kề đáy PQ.
Góc PQN = Góc PMN.
Chúng ta đã tính được góc NMQ = 120 độ.
Ta biết rằng hai góc kề một đáy của hình thang cân bằng nhau.
Góc MNP và góc QPN là hai góc kề đáy NP.
Góc PMN và góc PQN là hai góc kề đáy PQ.
Quan sát hình, ta thấy góc PQN = góc PMN – góc NMQ là sai.
Mà Góc PQN = Góc PMN.
Ta có góc NMQ = 120 độ. Đây là góc ở đỉnh M của tam giác cân MNQ.
Chúng ta đang có MN // PQ.
Hãy nhìn vào đường thẳng NQ cắt hai đường thẳng song song MN và PQ.
Góc MNQ và góc PQN không có quan hệ gì đặc biệt ngay lập tức.
Hãy quay lại tính chất của hình thang cân.
Góc kề đáy PQ là góc PQN và góc NPQ.
Chúng ta cần tìm góc NPQ. Nếu ta tính được góc PQN thì ta sẽ có góc NPQ vì chúng bằng nhau.
Chúng ta đã có góc MNQ = 30 độ.
Vì MN // PQ, ta có thể suy luận thêm.
Xét đường thẳng MQ cắt hai đường thẳng song song MN và PQ.
Góc NMQ = 120 độ.
Góc MQP = Góc NMQ (so le trong) là sai. Vì MQ không cắt PQ và MN theo kiểu so le trong.
Chúng ta có MN // PQ.
Hãy xét đường thẳng NQ. Nó cắt MN tại N và PQ tại Q.
Góc MNQ = 30 độ.
Góc PQN và góc MNQ có quan hệ gì? Không có.
Hãy nhìn vào hình thang cân MNPQ.
MN // PQ.
MQ = NP (cạnh bên).
MN = MQ (giả thiết).
Suy ra MN = MQ = NP.
Tam giác MNQ cân tại M, có MN = MQ.
Góc MNQ = 30 độ, suy ra góc MQN = 30 độ.
Góc NMQ = 180 – (30+30) = 120 độ.
Bây giờ, ta cần tìm góc NPQ.
Vì MNPQ là hình thang cân, nên góc PQN = góc NPQ.
Ta cần tính góc PQN.
Quan sát hình vẽ, góc PQN bao gồm góc MQN và một phần nào đó.
Hoặc góc PQN bằng góc MNQ cộng với một góc nào đó? Không đúng.
Hãy tập trung vào mối quan hệ giữa các góc.
Chúng ta biết MN // PQ.
Và MNPQ là hình thang cân.
Do đó, hai góc kề đáy PQ là góc QPN và góc NPQ bằng nhau.
Chúng ta cần tìm góc NPQ.
Chúng ta đã biết góc MNQ = 30 độ.
Vì MN // PQ, ta có thể sử dụng tính chất của các góc trong hoặc ngoài.
Xét đường thẳng NQ cắt hai đường thẳng song song MN và PQ.
Góc MNQ = 30 độ.
Góc PNQ là một phần của góc PQN.
Hãy suy nghĩ về tính chất hình thang cân.
Góc kề đáy PQ là góc NPQ và góc PQN. Hai góc này bằng nhau.
Ta cần tính góc NPQ. Vậy ta cần tính góc PQN.
Chúng ta đã có góc MQN = 30 độ.
Và góc PQN = góc NPQ.
Xem xét tam giác NPQ. Ta có NP = MN.
Tam giác NPQ không nhất thiết là tam giác cân.
Quay lại tính chất MN // PQ.
Và MN = MQ.
Vì MN // PQ, nên ta có thể sử dụng các góc xen kẽ.
Xét đường thẳng NQ. Góc MNQ = 30 độ.
Góc PNQ không bằng 30 độ.
Bây giờ, hãy nhìn vào hình thang cân MNPQ.
MN // PQ.
MQ = NP.
MN = MQ.
Suy ra MN = MQ = NP.
Tam giác MNQ cân tại M, có MN = MQ, góc MNQ = 30 độ, góc MQN = 30 độ, góc NMQ = 120 độ.
Vì MN // PQ, nên ta có thể sử dụng tính chất góc trong cùng phía.
Góc NMQ + Góc MQP = 180 độ (nếu MQ là đường cắt) – Đây là sai.
Hãy nhớ lại tính chất hình thang cân: hai góc kề một đáy bằng nhau.
Góc NPQ = Góc QPN.
Góc PMN = Góc PQN.
Ta có góc MNQ = 30 độ.
Và MN // PQ.
Hãy xem xét đường thẳng NQ. Nó cắt MN và PQ.
Góc MNQ = 30 độ.
Góc PQN = góc NPQ.
Chúng ta cần tìm góc NPQ.
Ta đã biết góc MNQ = 30 độ.
Vì MN // PQ, nên ta có:
Góc MNQ + Góc PQN = 180 độ (nếu MN và PQ là hai đáy và NQ là cạnh bên cắt hai đáy) – Đây không phải là trường hợp này.
Hãy suy nghĩ lại.
MN // PQ.
MN = MQ.
Góc MNQ = 30 độ.
Vì MN // PQ, ta có thể sử dụng tính chất góc so le trong hoặc đồng vị khi có đường cắt.
Xét đường thẳng NQ.
Góc MNQ = 30 độ.
Góc PNQ không bằng 30 độ.
Chúng ta có MN = MQ.
Và MN // PQ.
Xét tam giác MNQ cân tại M. Góc MNQ = 30 độ. Góc MQN = 30 độ. Góc NMQ = 120 độ.
Vì MN // PQ, hãy nhìn vào đường thẳng NQ.
Góc MNQ = 30 độ.
Góc QNM = 30 độ.
Góc PQN = góc NPQ.
Chúng ta có thể biểu diễn góc PQN theo các góc khác.
Góc PQN = Góc PNQ + Góc NPQ – Tam giác NPQ không chắc chắn là có.
Hãy quay lại MN // PQ và MN = MQ.
Vì MN // PQ, nên ta có thể coi MQ và NP là hai cạnh bên.
Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau. MQ = NP.
Đề cho MN = MQ.
Vậy MN = MQ = NP.
Tam giác MNQ cân tại M, góc MNQ = 30 độ, góc MQN = 30 độ, góc NMQ = 120 độ.
Vì MN // PQ, nên ta có thể sử dụng tính chất góc so le trong hoặc đồng vị khi có đường cắt.
Xét đường thẳng NQ. Nó cắt MN và PQ.
Góc MNQ = 30 độ.
Trong hình thang cân, hai góc kề đáy PQ bằng nhau: góc NPQ = góc QPN.
Ta cần tìm góc NPQ.
Hãy xem xét góc PQN.
Góc PQN = góc NPQ.
Chúng ta cần tính góc PQN.
Vì MN // PQ, ta có thể sử dụng tính chất góc trong cùng phía.
Góc NMQ + Góc MQP = 180 độ (nếu MN // PQ và QM là đường cắt) – Đúng.
Góc NMQ = 120 độ.
Vậy 120 độ + Góc MQP = 180 độ.
Góc MQP = 180 độ – 120 độ = 60 độ.
Góc MQP = 60 độ.
Góc MQP chính là góc MQN + góc NPQ là sai.
Góc MQP = Góc MQN + Góc QNP là sai.
Góc MQP = 60 độ.
Góc MQP bao gồm góc MQN.
Góc MQP = Góc MQN + Góc QNP. Sai.
Góc MQP = 60 độ.
Ta biết góc MQN = 30 độ.
Vậy, Góc QNP = Góc MQP – Góc MQN = 60 độ – 30 độ = 30 độ.
Ta đã tính được góc QNP = 30 độ.
Vì MNPQ là hình thang cân, hai góc kề đáy PQ bằng nhau.
Góc NPQ = Góc QPN.
Chúng ta đã tính được góc QNP = 30 độ.
Hãy xem xét lại. Góc QNP là một phần của góc PQN.
Góc PQN = góc NPQ.
Chúng ta có góc MQP = 60 độ.
Góc MQP = góc MQN + góc QNP.
60 độ = 30 độ + góc QNP.
Góc QNP = 60 độ – 30 độ = 30 độ.
Ta có góc NPQ = góc QPN.
Góc PQN = Góc QPN.
Ta đã tính được góc QNP = 30 độ.
Góc PQN = góc NPQ.
Trong tam giác NPQ, ta không có thông tin để tính góc PQN.
Hãy xem lại bước tính góc MQP = 60 độ.
Vì MN // PQ, và MQ là đường thẳng cắt, nên hai góc trong cùng phía là góc NMQ và góc MQP bù nhau.
Góc NMQ + Góc MQP = 180 độ.
120 độ + Góc MQP = 180 độ.
Góc MQP = 60 độ. Đây là đúng.
Góc MQP = 60 độ.
Góc MQP là góc kề đáy PQ.
Góc PQN là góc kề đáy PQ.
Góc PQN = Góc NPQ.
Chúng ta đã có góc MQN = 30 độ.
Góc MQP = 60 độ.
Góc MQP = Góc MQN + Góc QNP = 60 độ.
30 độ + Góc QNP = 60 độ.
Góc QNP = 30 độ.
Ta cần tìm góc NPQ.
Vì MNPQ là hình thang cân, nên hai góc kề đáy PQ bằng nhau.
Góc NPQ = Góc QPN.
Ta đã tính được góc QNP = 30 độ.
Góc PQN = góc NPQ.
Hãy xem xét tam giác NPQ.
Ta có NP = MN.
Và tam giác MNQ cân tại M, MN = MQ.
Vậy NP = MN = MQ.
Trong tam giác NPQ, ta có NP = MN.
Nhưng góc PQN = góc NPQ.
Hãy nhìn vào tam giác PNQ.
Góc QNP = 30 độ.
Góc PQN = góc NPQ.
Nếu góc QNP = 30 độ, và góc PQN = góc NPQ, thì tam giác NPQ sẽ cân tại N.
Nếu tam giác NPQ cân tại N, thì NP = PQ.
Nhưng ta chưa có thông tin NP = PQ.
Hãy xem lại đề bài.
Hình thang cân MNPQ (MN//PQ) có MN=MQ. Góc MNQ=30 độ.
Ta có MN // PQ.
MN = MQ.
Góc MNQ = 30 độ.
Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.
Góc NPQ = Góc QPN.
Góc PMN = Góc PQN.
Ta đã tính được góc NMQ = 120 độ.
Góc MQP = 60 độ.
Góc PQN = Góc QPN.
Góc PQN = Góc PNQ + Góc NPQ – Sai.
Góc PQN = Góc NPQ.
Góc PQN = Góc PNM + Góc MNQ – Sai.
Ta có góc MQP = 60 độ.
Góc PQN = Góc QPN.
Góc MQP = Góc MQN + Góc QNP = 60 độ.
30 độ + Góc QNP = 60 độ.
Góc QNP = 30 độ.
Vậy góc PQN = Góc QPN.
Ta có góc QNP = 30 độ.
Góc PQN = Góc NPQ.
Xem xét tam giác PNQ.
Góc QNP = 30 độ.
Góc PQN = góc NPQ.
Trong tam giác PNQ, tổng ba góc là 180 độ.
Góc QNP + Góc PQN + Góc NPQ = 180 độ.
30 độ + Góc NPQ + Góc NPQ = 180 độ.
30 độ + 2 * Góc NPQ = 180 độ.
2 * Góc NPQ = 180 độ – 30 độ.
2 * Góc NPQ = 150 độ.
Góc NPQ = 150 độ / 2 = 75 độ.
Vậy góc NPQ = 75 độ.
Kiểm tra lại.
Nếu góc NPQ = 75 độ, thì góc QPN = 75 độ.
Góc PQN = Góc QPN = 75 độ.
Góc QNP = 30 độ.
Tổng ba góc trong tam giác NPQ: 75 + 75 + 30 = 180 độ. Đúng.
Kiểm tra lại các bước.
1. MN // PQ, MN = MQ, hình thang cân MNPQ.
2. Tam giác MNQ cân tại M (MN=MQ), góc MNQ=30 độ => góc MQN=30 độ, góc NMQ=120 độ.
3. MN // PQ => góc NMQ + góc MQP = 180 độ (góc trong cùng phía).
120 độ + góc MQP = 180 độ => góc MQP = 60 độ.
4. Góc MQP = góc MQN + góc QNP.
60 độ = 30 độ + góc QNP => góc QNP = 30 độ.
5. Hình thang cân MNPQ => góc NPQ = góc QPN.
Trong tam giác NPQ: góc QNP = 30 độ.
Góc PQN = góc QPN.
Gọi góc NPQ là x. Thì góc QPN = x. Góc PQN = x.
Tổng ba góc trong tam giác NPQ: góc QNP + góc PQN + góc NPQ = 180 độ.
30 độ + x + x = 180 độ.
30 độ + 2x = 180 độ.
2x = 150 độ.
x = 75 độ.
Vậy góc NPQ = 75 độ.
Đáp số của chúng ta là 75 độ.
Vậy, góc NPQ bằng 75 độ.
Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé. Chúc các em học tốt!
Giải thích các bước giải:
Ta có: \(MN=MQ\to \Delta MNQ\) cân tại \(M\)
\(\to \widehat{MQN}=\widehat{MNQ}=30^o\)
Vì \(MN//PQ\to \widehat{NQP}=\widehat{MNQ}=30^o\)
\(\to \widehat{MQP}=\widehat{MQN}+\widehat{NQP}=60^o\)
\(\to \widehat{NPQ}=\widehat{MQP}=60^o\) vì \(MNPQ\) là hình thang cân
;-;