Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Khi đó |vecto AB + vecto AC |
Chúng ta sẽ giải bài toán này một cách chi tiết từng bước nhé.
Bước 1: Phân tích và biểu diễn tổng hai vectơ
Để tính độ lớn \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\), trước tiên chúng ta cần tìm ra vectơ tổng \(\vec{AB} + \vec{AC}\) là vectơ nào.
Các em có thấy hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) có chung điểm đầu là A không? Khi cộng hai vectơ có chung điểm đầu, chúng ta thường sử dụng quy tắc hình bình hành.
Tuy nhiên, có một quy tắc khác cũng rất hiệu quả, đó là quy tắc trung điểm. Thầy sẽ dùng quy tắc này vì nó sẽ giúp chúng ta tính toán dễ dàng hơn.
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Theo quy tắc trung điểm cho việc cộng vectơ, ta có:
\[\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}\]
Như vậy, bài toán trở thành tính độ lớn của vectơ \(2\vec{AM}\).
Ta có: \(|\vec{AB} + \vec{AC}| = |2\vec{AM}| = 2 \cdot |\vec{AM}| = 2 \cdot AM\).
Bây giờ, nhiệm vụ của chúng ta là đi tính độ dài của đoạn thẳng AM.
Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng AM
Để tính độ dài AM, chúng ta hãy xét trong tam giác ABM.
Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat{ABC} = 90^\circ\), do đó tam giác ABM là tam giác vuông tại B.
Chúng ta đã biết các cạnh của tam giác vuông này chưa?
– Cạnh AB là cạnh của hình vuông, nên \(AB = a\).
– Vì M là trung điểm của BC, nên \(BM = \frac{BC}{2}\). Mà BC cũng là cạnh của hình vuông, nên \(BC = a\). Suy ra \(BM = \frac{a}{2}\).
Bây giờ, chúng ta áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABM:
\[AM^2 = AB^2 + BM^2\]
Thay các giá trị đã biết vào, ta được:
\[AM^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[AM^2 = a^2 + \frac{a^2}{4}\]
\[AM^2 = \frac{4a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}\]
Từ đó, ta tính được độ dài AM:
\[AM = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{\sqrt{5a^2}}{\sqrt{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\]
Bước 3: Tính kết quả cuối cùng
Ở Bước 1, chúng ta đã có \(|\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 \cdot AM\).
Bây giờ ta chỉ cần thay giá trị AM vừa tính được ở Bước 2 vào thôi.
\[|\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} = a\sqrt{5}\]
Kết luận
Vậy, độ lớn của vectơ tổng \(\vec{AB} + \vec{AC}\) là \(a\sqrt{5}\).
Đây là một bài tập rất hay, giúp các em ôn lại kiến thức về quy tắc cộng vectơ và cả định lý Pytago đã học ở cấp dưới. Các em hãy ghi nhớ phương pháp giải này nhé. Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\(\sqrt{5}a\)
Giải thích các bước giải:
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) \(=> EB = EC = {BC}/2 = a/2\); \(\vec{EB} + \vec{EC} = \vec{0}\)
Ta có \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB}) + (\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC})\)
\(=2\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC} = 2.\overrightarrow{AE} + 0 = 2.\overrightarrow{AE}\)
\(ABCD\) là hình vuông \(=> \hat{ABC} = 90^0 => ΔABE\) vuông tại \(B\)
\(=> AE^2 = AB^2 +BC^2\)
\(<=> AE^2 = a^2 + (a/2)^2 = {5a^2}/4\)
\(=> AE = \frac{\sqrt{5}a}{2}\)
\(|\overrightarrow{AE}|= AE = \dfrac{\sqrt{5}a}{2}\)
\(⇒ 2.|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{5}a\)
\(⇒ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|=\sqrt{5}a\)
Dáp án đây nha