Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập quan trọng liên quan đến logarit, giúp các em củng cố kiến thức về các công thức biến đổi cơ bản trong chương trình Toán 12, đặc biệt là phần công thức đổi cơ số. Đề bài yêu cầu chúng ta tính một biểu thức logarit theo các biến đã cho.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt một số công thức logarit đã học trong Sách giáo khoa (SGK):

1. Công thức đổi cơ số: Với mọi số dương a, b, c (a, b, c khác 1), ta có:
\(\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \)\)

2. Công thức logarit của một tích: Với mọi số dương a, b, c (a khác 1), ta có:
\(\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)\)

3. Một trường hợp đặc biệt của công thức đổi cơ số (hay còn gọi là công thức nghịch đảo): Với mọi số dương a, b (a, b khác 1), ta có:
\(\( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)\)
Đây là công thức rất hữu ích khi chúng ta muốn đổi vị trí cơ số và số lấy logarit.

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào lời giải chi tiết nhé!

---

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chuyển đổi các biểu thức đã cho về cùng một cơ số thuận tiện.

Ta nhận thấy rằng cả các biểu thức đã cho (logarit cơ số 2 của 5, logarit cơ số 3 của 5) và biểu thức cần tính (logarit cơ số 6 của 5) đều có chung số 5 ở vị trí số lấy logarit. Do đó, việc chuyển đổi chúng về cơ số 5 sẽ giúp chúng ta tính toán dễ dàng hơn.

Áp dụng công thức đổi cơ số (công thức nghịch đảo) \(\( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)\):

Từ \(\( \log_2 5 = a \)\), ta suy ra:
\[ \log_5 2 = \frac{1}{\log_2 5} = \frac{1}{a} \]

Tương tự, từ \(\( \log_3 5 = b \)\), ta có:
\[ \log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5} = \frac{1}{b} \]

Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính theo cơ số chung đã chọn.

Tương tự như trên, ta sẽ chuyển \(\( \log_6 5 \)\) về cơ số 5:
\[ \log_6 5 = \frac{1}{\log_5 6} \]

Bước 3: Phân tích số 6 và áp dụng công thức logarit của một tích.

Ta biết rằng \(\( 6 = 2 \times 3 \)\). Vì vậy, chúng ta có thể viết lại \(\( \log_5 6 \)\) như sau:
\[ \log_5 6 = \log_5 (2 \times 3) \]
Áp dụng công thức logarit của một tích \(\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)\):
\[ \log_5 (2 \times 3) = \log_5 2 + \log_5 3 \]

Bước 4: Thay thế các giá trị đã biết và rút gọn biểu thức.

Bây giờ, chúng ta thay thế các giá trị đã tìm được ở Bước 1 vào biểu thức ở Bước 3:
\[ \log_5 6 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \]
Để thuận tiện cho việc tính toán tiếp theo, ta quy đồng mẫu số cho biểu thức này:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab} \]
Cuối cùng, chúng ta thay kết quả này vào biểu thức của \(\( \log_6 5 \)\) ở Bước 2:
\[ \log_6 5 = \frac{1}{\log_5 6} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} \]
Thực hiện phép chia phân số, ta được:
\[ \log_6 5 = \frac{ab}{a+b} \]

---

Kết luận:

Vậy, \(\( \log_6 5 \)\) được tính theo \(\( a \)\) và \(\( b \)\) là
\[ \log_6 5 = \frac{ab}{a+b} \]

Qua bài tập này, các em thấy rằng việc nắm vững và vận dụng linh hoạt các công thức logarit là vô cùng quan trọng. Đặc biệt, việc nhận ra điểm chung (ở đây là số 5) để chuyển đổi cơ số là một kỹ năng mấu chốt. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé! Chúc các em học tốt!