Cho M (2; 0), N (2; 2) và P (-1; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC; CA; AB c…
Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, khi biết tọa độ trung điểm của ba cạnh. Nghe có vẻ phức tạp, nhưng nếu chúng ta đi từng bước một, thầy tin rằng các em sẽ làm được thôi.
Trước hết, chúng ta hãy cùng nhắc lại một chút kiến thức quan trọng về tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng.
Giả sử chúng ta có hai điểm A có tọa độ là \( (x_A; y_A) \) và B có tọa độ là \( (x_B; y_B) \).
Khi đó, tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB sẽ được tính bằng công thức:
\( I = \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right) \)
Đây là công thức cơ bản mà chúng ta sẽ áp dụng trong bài toán này.
Bây giờ, chúng ta cùng phân tích đề bài.
Chúng ta có tam giác ABC.
M là trung điểm của cạnh BC. Tọa độ M là (2; 0).
N là trung điểm của cạnh CA. Tọa độ N là (2; 2).
P là trung điểm của cạnh AB. Tọa độ P là (-1; 3).
Chúng ta cần tìm tọa độ của đỉnh B, gọi tọa độ B là \( (x_B; y_B) \).
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt tọa độ của các đỉnh A, B, C lần lượt là:
A có tọa độ \( (x_A; y_A) \)
B có tọa độ \( (x_B; y_B) \)
C có tọa độ \( (x_C; y_C) \)
Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức tọa độ trung điểm để thiết lập các phương trình dựa trên thông tin đề bài cho.
1. Dựa vào M là trung điểm BC:
Ta có tọa độ M là (2; 0). Áp dụng công thức trung điểm cho đoạn BC, ta có:
\( \left( \frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2} \right) = (2; 0) \)
Từ đây, ta suy ra hai phương trình:
\( \frac{x_B + x_C}{2} = 2 \implies x_B + x_C = 4 \) (Phương trình 1)
\( \frac{y_B + y_C}{2} = 0 \implies y_B + y_C = 0 \) (Phương trình 2)
2. Dựa vào N là trung điểm CA:
Ta có tọa độ N là (2; 2). Áp dụng công thức trung điểm cho đoạn CA, ta có:
\( \left( \frac{x_C + x_A}{2}; \frac{y_C + y_A}{2} \right) = (2; 2) \)
Suy ra hai phương trình:
\( \frac{x_C + x_A}{2} = 2 \implies x_C + x_A = 4 \) (Phương trình 3)
\( \frac{y_C + y_A}{2} = 2 \implies y_C + y_A = 4 \) (Phương trình 4)
3. Dựa vào P là trung điểm AB:
Ta có tọa độ P là (-1; 3). Áp dụng công thức trung điểm cho đoạn AB, ta có:
\( \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right) = (-1; 3) \)
Suy ra hai phương trình:
\( \frac{x_A + x_B}{2} = -1 \implies x_A + x_B = -2 \) (Phương trình 5)
\( \frac{y_A + y_B}{2} = 3 \implies y_A + y_B = 6 \) (Phương trình 6)
Bây giờ, chúng ta có một hệ gồm 6 phương trình với 6 ẩn là \( x_A, x_B, x_C, y_A, y_B, y_C \). Tuy nhiên, chúng ta chỉ cần tìm tọa độ B, tức là \( x_B \) và \( y_B \). Chúng ta có thể nhóm các phương trình theo biến x và biến y để giải quyết cho gọn.
Giải hệ phương trình cho các thành phần tọa độ x:
Chúng ta có các phương trình:
(1) \( x_B + x_C = 4 \)
(3) \( x_C + x_A = 4 \)
(5) \( x_A + x_B = -2 \)
Đây là một hệ phương trình quen thuộc. Để tìm \( x_B \), chúng ta có thể cộng cả ba phương trình lại với nhau:
\( (x_B + x_C) + (x_C + x_A) + (x_A + x_B) = 4 + 4 + (-2) \)
\( 2x_A + 2x_B + 2x_C = 6 \)
Chia cả hai vế cho 2:
\( x_A + x_B + x_C = 3 \) (Phương trình 7)
Bây giờ, để tìm \( x_B \), ta lấy Phương trình (7) trừ đi Phương trình (3) (phương trình không chứa \( x_B \)):
\( (x_A + x_B + x_C) – (x_C + x_A) = 3 – 4 \)
\( x_B = -1 \)
Vậy là chúng ta đã tìm được thành phần tọa độ x của điểm B.
Giải hệ phương trình cho các thành phần tọa độ y:
Chúng ta có các phương trình:
(2) \( y_B + y_C = 0 \)
(4) \( y_C + y_A = 4 \)
(6) \( y_A + y_B = 6 \)
Tương tự như trên, chúng ta cộng cả ba phương trình lại:
\( (y_B + y_C) + (y_C + y_A) + (y_A + y_B) = 0 + 4 + 6 \)
\( 2y_A + 2y_B + 2y_C = 10 \)
Chia cả hai vế cho 2:
\( y_A + y_B + y_C = 5 \) (Phương trình 8)
Để tìm \( y_B \), ta lấy Phương trình (8) trừ đi Phương trình (4) (phương trình không chứa \( y_B \)):
\( (y_A + y_B + y_C) – (y_C + y_A) = 5 – 4 \)
\( y_B = 1 \)
Vậy là chúng ta đã tìm được thành phần tọa độ y của điểm B.
Kết hợp hai kết quả tìm được, tọa độ của đỉnh B là \( (-1; 1) \).
Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A và C, sau đó tính lại tọa độ M, N, P để chắc chắn. Tuy nhiên, với các bước giải logic và áp dụng đúng công thức, kết quả \( B(-1; 1) \) là hoàn toàn chính xác.
Thầy hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách sử dụng công thức tọa độ trung điểm để giải quyết các bài toán hình học tọa độ. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Vì \( N\) là trung điểm của \(AC\) và \(P\) là trung điểm của \(AB,\) nên ta có:
\(x_N = frac{x_A + x_C}{2} và y_N = frac{y_A + y_C}{2}\)
\(x_P = frac{x_A + x_B}{2} và y_P = frac{y_A + y_B}{2}\)
Từ đó ta có \(:\)
\(x_A + x_C = 2x_N = 2 * 2 = 4\) \((1)\)
\(y_A + y_C = 2y_N = 2 * 2 = 4\) \((2)\)
\(x_A + x_B = 2x_P = 2 * (-1) = -2\) \((3)\)
\(y_A + y_B = 2y_P = 2 * 3 = 6\) \((4)\)
Vì M là trung điểm của \(BC,\) nên ta có\(:\)
\(x_M = frac{x_B + x_C}{2}\) và \(y_M = frac{y_B + y_C}{2}\)
Từ đó, ta có:
\(x_B + x_C = 2x_M = 2 * 2 = 4\) \((5)\)
\(y_B + y_C = 2y_M = 2 * 0 = 0\) \((6)\)
Từ \((1)\) và \((5)\), ta có:
\(x_A + x_C = 4\)
\(x_B + x_C = 4\)
\(=>\) \(x_A = x_B\)
Thay vào \((3),\) ta có:
\(x_A + x_B = 2x_B = -2\)
\(=>\) \(x_B = -1\)
Từ \((2)\) và \((6),\) ta có:
\(y_A + y_C = 4\)
\(y_B + y_C = 0\)
\(=>\) \(y_A = y_B + 4\)
Thay vào \((4),\) ta có:
\(y_A + y_B = y_B + 4 + y_B = 2y_B + 4 = 6\)
\(=> \)\(2y_B = 2\)
\(=>\) \(y_B = 1\)
Vậy tọa độ điểm \(B\) là \((-1; 1).\)
Có \(:\)
\(+)M\) là trung điểm \(BC\)
\(+)N\) là trung điểm \(CA\)
\(+)P\) là trung điểm \(AB\)
\(=>M(2;0)=((x_B+x_C)/2;(y_B+y_C)/2)\)
\(=>\)\({(x_B+x_C=4),(y_B+y_C=0):}\)
\(=>N(2;2)=((x_C+x_A)/2;(y_C+y_A)/2)\)
\(=>\)\({(x_C+x_A=4),(y_C+y_A=4):}\)
\(=>P(-1;3)=((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2)\)
\(=>\)\({(x_A+x_B=-2),(y_A+y_B=-6):}\)
Lấy hết toàn bộ pt có \(x\) ta có hệ phương trình là \(:\)\({(x_B+x_C=4),(x_C+x_A=4),(x_A+x_B=-2):}\)
Giải ra ta được \(:\)\({(x_a=-1),(x_B=-1),(x_C=5):}\)
Lấy hết toàn bộ pt có \(y\) ta có hệ phương trình là \(:\)\({(y_B+y_C=0),(y_C+y_A=4),(y_A+y_B=6):}\)
Giải ra ta được \(:\)\({(y_A=5),(y_B=1),(y_C=-1):}\)
\(=>B(-1;1)\)