Chào em, một câu hỏi rất hay về đạo hàm, kiến thức nền tảng và cực kỳ quan trọng của chương trình Toán lớp 11! Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhất nhé.

Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^3}{3} \), chúng ta sẽ cần áp dụng hai quy tắc đạo hàm cơ bản mà các em đã được học:

Các công thức đạo hàm cần nhớ:

1. Quy tắc đạo hàm của một hằng số nhân với một hàm số:

   Nếu \( C \) là một hằng số và \( u(x) \) là một hàm số theo \( x \), thì đạo hàm của \( C \cdot u(x) \) được tính bằng công thức:

   \[ (C \cdot u(x))’ = C \cdot u'(x) \]

   Giải thích: Quy tắc này nói rằng khi có một số (hằng số) nhân với một biểu thức chứa biến \( x \), ta có thể giữ nguyên số đó và chỉ cần lấy đạo hàm của biểu thức chứa \( x \) mà thôi.

2. Quy tắc đạo hàm của hàm số mũ:

   Nếu \( n \) là một số thực, thì đạo hàm của hàm số \( x^n \) được tính bằng công thức:

   \[ (x^n)’ = n \cdot x^{n-1} \]

   Giải thích: Để lấy đạo hàm của \( x \) mũ một số nào đó, ta “hạ” số mũ đó xuống làm hệ số, sau đó giảm số mũ cũ đi 1 đơn vị.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau áp dụng các công thức này để giải bài toán của em:

Lời giải chi tiết từng bước:

Bước 1: Xác định hàm số và biến đổi để dễ áp dụng công thức.

Hàm số cần tính đạo hàm là: \( y = \frac{x^3}{3} \)

Để dễ dàng áp dụng quy tắc đạo hàm của một hằng số nhân với một hàm số, chúng ta có thể viết lại hàm số này như sau:

\[ y = \frac{1}{3} \cdot x^3 \]

Giải thích: Bằng cách viết \( \frac{x^3}{3} \) thành \( \frac{1}{3} \cdot x^3 \), chúng ta nhận thấy rõ ràng rằng \( \frac{1}{3} \) chính là hằng số \( C \) và \( x^3 \) chính là hàm số \( u(x) \).

Bước 2: Áp dụng Quy tắc đạo hàm của một hằng số nhân với một hàm số.

Ta có \( y’ = \left( \frac{1}{3} \cdot x^3 \right)’ \)

Theo công thức \( (C \cdot u(x))’ = C \cdot u'(x) \), với \( C = \frac{1}{3} \) và \( u(x) = x^3 \), ta được:

\[ y’ = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ \]

Giải thích: Chúng ta giữ nguyên hằng số \( \frac{1}{3} \) và sẽ chỉ cần tính đạo hàm của phần \( x^3 \).

Bước 3: Áp dụng Quy tắc đạo hàm của hàm số mũ.

Bây giờ, chúng ta cần tính đạo hàm của \( (x^3)’ \).

Theo công thức \( (x^n)’ = n \cdot x^{n-1} \), với \( n = 3 \), ta có:

\[ (x^3)’ = 3 \cdot x^{3-1} = 3 \cdot x^2 \]

Giải thích: Ta hạ số mũ 3 xuống làm hệ số, sau đó giảm số mũ 3 đi 1 đơn vị, còn lại là \( 2 \).

Bước 4: Kết hợp các kết quả để tìm đạo hàm cuối cùng.

Thay kết quả của Bước 3 vào biểu thức ở Bước 2:

\[ y’ = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot x^2) \]

Thực hiện phép nhân:

\[ y’ = \left( \frac{1}{3} \cdot 3 \right) \cdot x^2 \]

\[ y’ = 1 \cdot x^2 \]

\[ y’ = x^2 \]

Vậy, đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^3}{3} \) là \( y’ = x^2 \).

Hy vọng qua các bước giải thích chi tiết này, em đã hiểu rõ cách tính đạo hàm của hàm số trên. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé!