Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá hay về phương trình bậc hai, liên quan đến điều kiện của nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm. Chúng ta sẽ bám sát kiến thức đã học trong Sách giáo khoa để giải quyết bài toán này nhé.

Đề bài cho phương trình ẩn x: x^2 + 2(m+1)x + 2 – 3 = 0

Đầu tiên, chúng ta cần rút gọn phương trình này về dạng chuẩn của phương trình bậc hai: ax^2 + bx + c = 0.
Quan sát phương trình đã cho, ta thấy:
Hệ số a = 1
Hệ số b = 2(m+1)
Hệ số c = 2 – 3 = -1

Vậy phương trình đã cho có dạng: x^2 + 2(m+1)x – 1 = 0

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào giải quyết từng câu hỏi của bài toán.

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, điều kiện đầu tiên là biệt thức Delta (Δ) phải lớn hơn 0.
Ta tính Delta:
Δ = b^2 – 4ac
Δ = [2(m+1)]^2 – 4 1 (-1)
Δ = 4(m+1)^2 + 4
Δ = 4(m^2 + 2m + 1) + 4
Δ = 4m^2 + 8m + 4 + 4
Δ = 4m^2 + 8m + 8

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần Δ > 0.
4m^2 + 8m + 8 > 0
Chia cả hai vế cho 4 (là một số dương nên không đổi chiều bất phương trình):
m^2 + 2m + 2 > 0

Bây giờ, chúng ta sẽ xét tam thức bậc hai m^2 + 2m + 2. Ta có thể tính biệt thức của tam thức này theo biến m:
Δ_m = 2^2 – 4 1 2 = 4 – 8 = -4
Vì Δ_m < 0 và hệ số của m^2 là 1 (dương) nên tam thức m^2 + 2m + 2 luôn luôn dương với mọi giá trị của m. Do đó, Δ luôn luôn lớn hơn 0 với mọi m. Điều này có nghĩa là phương trình ban đầu luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Tiếp theo, chúng ta xét điều kiện để hai nghiệm là đối nhau. Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2, thì hai nghiệm đối nhau có nghĩa là: x1 + x2 = 0 Theo định lý Vi-et, đối với phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 (với a khác 0), ta có: Tổng hai nghiệm: x1 + x2 = -b/a Tích hai nghiệm: x1 * x2 = c/a Áp dụng vào phương trình của chúng ta: x^2 + 2(m+1)x - 1 = 0 Ta có a = 1, b = 2(m+1), c = -1. Tổng hai nghiệm là: x1 + x2 = -[2(m+1)] / 1 x1 + x2 = -2(m+1) Để hai nghiệm là đối nhau, ta cần x1 + x2 = 0. -2(m+1) = 0 m+1 = 0 m = -1 Vậy, để phương trình có hai nghiệm đối nhau, giá trị của m là -1. b) Lập một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 mà không phụ thuộc m

Định lý Vi-et cung cấp cho chúng ta các mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình.
Đối với phương trình x^2 + 2(m+1)x – 1 = 0, ta có:
Tổng hai nghiệm: x1 + x2 = -2(m+1) (1)
Tích hai nghiệm: x1 * x2 = -1 / 1 = -1 (2)

Yêu cầu của đề bài là tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không chứa m.
Chúng ta hãy xem xét hai biểu thức trên. Biểu thức (2) là x1 * x2 = -1. Biểu thức này đã không chứa m.

Như vậy, mối quan hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m chính là tích của chúng.

Tuy nhiên, đôi khi đề bài muốn chúng ta tìm một hệ thức có thể bao gồm cả tổng và tích, hoặc biến đổi sao cho m bị triệt tiêu. Chúng ta hãy thử xem có thể biến đổi biểu thức (1) để loại bỏ m hay không.
Từ (1): x1 + x2 = -2(m+1)
Ta có thể biểu diễn m+1 theo x1 và x2:
m+1 = -(x1 + x2) / 2

Biểu thức này vẫn còn phụ thuộc vào m.

Bây giờ, chúng ta quay lại với biểu thức (2): x1 * x2 = -1.
Hệ thức này đã thỏa mãn yêu cầu “không phụ thuộc m”.

Vậy, hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc m là:
x1 * x2 = -1

Cô nhấn mạnh lại một lần nữa: “không phụ thuộc m” nghĩa là trong biểu thức đó không xuất hiện chữ m. Biểu thức x1 * x2 = -1 hoàn toàn thỏa mãn điều kiện này.

Các em thấy đó, việc nắm vững định lý Vi-et là chìa khóa để giải quyết các bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai.
Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!