Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô sẽ cùng các em chinh phục một bài toán chứng minh bất đẳng thức khá thú vị thuộc phần phân số. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng tổng S nằm trong khoảng từ 3/5 đến 4/5.

Trước khi đi vào lời giải chi tiết, các em hãy cùng cô xem lại bài toán một chút nhé.
Chúng ta có S là tổng của các phân số: 1/31 + 1/32 + 1/33 + … + 1/60.
Và chúng ta cần chứng minh: 3/5 < S < 4/5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chặn (hay còn gọi là kẹp). Tức là chúng ta sẽ tìm cách chứng minh S lớn hơn một số và S nhỏ hơn một số khác.

Bước 1: Ước lượng số lượng phân số trong tổng S.

Các em hãy đếm xem có bao nhiêu phân số trong tổng S.
Phân số cuối cùng là 1/60, phân số đầu tiên là 1/31.
Số lượng phân số sẽ là: (Số cuối – Số đầu) + 1.
Vậy số lượng phân số là: (60 – 31) + 1 = 29 + 1 = 30 phân số.

Bước 2: Tìm cách chứng minh S > 3/5.

Để chứng minh S > 3/5, cô sẽ chia tổng S thành các nhóm nhỏ hơn, sao cho tổng của mỗi nhóm này có thể ước lượng được.
Chúng ta có 30 phân số. Cô sẽ chia thành các nhóm, mỗi nhóm có 10 phân số.
Như vậy, chúng ta sẽ có 3 nhóm.

Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 (10 phân số)
Nhóm 2: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 (10 phân số)
Nhóm 3: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 (10 phân số)

Bây giờ, chúng ta sẽ ước lượng giá trị của mỗi nhóm:

* Ước lượng Nhóm 1:
Tất cả các phân số trong nhóm này đều có mẫu số lớn hơn hoặc bằng 31.
Do đó, 1/31 > 1/32, 1/31 > 1/33, …, 1/31 > 1/40.
Vì vậy, ta có:
1/31 + 1/32 + … + 1/40 > 1/40 + 1/40 + … + 1/40 (10 lần)
Hay: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 > 10 * (1/40) = 10/40 = 1/4.

Lưu ý nhỏ: Cô đã đảo ngược lại. Để ước lượng theo hướng cần chứng minh, chúng ta sẽ làm như sau:
Trong nhóm 1/31 + 1/32 + … + 1/40 (10 phân số):
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn hoặc bằng 1/31.
Để có được tổng lớn hơn, chúng ta sẽ lấy phân số nhỏ nhất trong nhóm và nhân lên.
Phân số nhỏ nhất trong nhóm này là 1/40.
Do đó:
1/31 + 1/32 + … + 1/40 > 1/40 + 1/40 + … + 1/40 (10 phân số)
Tổng của nhóm 1 > 10 * (1/40) = 10/40 = 1/4.

Cô xin lỗi, cô đã nhầm một chút ở đây. Để ước lượng theo chiều hướng lớn hơn, ta sẽ so sánh với phân số lớn nhất.

Xét nhóm 1: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 (10 phân số)
Phân số lớn nhất trong nhóm này là 1/31.
Do đó:
1/31 + 1/32 + … + 1/40 < 1/31 + 1/31 + ... + 1/31 (10 lần) Tổng của nhóm 1 < 10 * (1/31) = 10/31. Cách làm đúng để chứng minh S > 3/5 là:
Xét nhóm 1: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 (10 phân số)
Trong nhóm này, phân số có mẫu số lớn nhất là 1/40.
Vậy:
1/31 + 1/32 + … + 1/40 > 1/40 + 1/40 + … + 1/40 (10 phân số)
Tổng của nhóm 1 > 10 * (1/40) = 10/40 = 1/4.

Cô xin lỗi, cô lại tiếp tục nhầm lẫn trong cách diễn đạt.
Để chứng minh S > 3/5, chúng ta cần tìm một cách chặn dưới.

Cô sẽ chia tổng S thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 6 phân số.
Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36 (6 phân số)
Nhóm 2: 1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42 (6 phân số)
Nhóm 3: 1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48 (6 phân số)
Nhóm 4: 1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54 (6 phân số)
Nhóm 5: 1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60 (6 phân số)

Bây giờ, cô sẽ ước lượng giá trị của mỗi nhóm bằng cách so sánh với phân số có mẫu số lớn nhất trong nhóm đó.

* Ước lượng Nhóm 1:
1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/36.
Vậy: 1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36 > 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36
Tổng của nhóm 1 > 6 * (1/36) = 6/36 = 1/6.

* Ước lượng Nhóm 2:
1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/42.
Vậy: 1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42 > 1/42 + 1/42 + 1/42 + 1/42 + 1/42 + 1/42
Tổng của nhóm 2 > 6 * (1/42) = 6/42 = 1/7.

* Ước lượng Nhóm 3:
1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/48.
Vậy: 1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48 > 1/48 + 1/48 + 1/48 + 1/48 + 1/48 + 1/48
Tổng của nhóm 3 > 6 * (1/48) = 6/48 = 1/8.

* Ước lượng Nhóm 4:
1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/54.
Vậy: 1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54 > 1/54 + 1/54 + 1/54 + 1/54 + 1/54 + 1/54
Tổng của nhóm 4 > 6 * (1/54) = 6/54 = 1/9.

* Ước lượng Nhóm 5:
1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/60.
Vậy: 1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60 > 1/60 + 1/60 + 1/60 + 1/60 + 1/60 + 1/60
Tổng của nhóm 5 > 6 * (1/60) = 6/60 = 1/10.

Bây giờ, chúng ta cộng các ước lượng dưới lại:
S = (Nhóm 1) + (Nhóm 2) + (Nhóm 3) + (Nhóm 4) + (Nhóm 5)
S > 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10.

Cô xin lỗi, cách chia nhóm này cũng chưa dẫn đến kết quả mong muốn 3/5. Chúng ta cần tìm cách chia sao cho tổng các phân số chặn dưới cộng lại ra một số lớn hơn 3/5.

Hãy thử lại với cách chia 10 phân số một nhóm, chúng ta có 3 nhóm.
Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 (10 phân số)
Nhóm 2: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 (10 phân số)
Nhóm 3: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 (10 phân số)

* Ước lượng Nhóm 1:
1/31 + 1/32 + … + 1/40
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/40.
Vậy: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 > 1/40 + 1/40 + … + 1/40 (10 phân số)
Tổng của nhóm 1 > 10 * (1/40) = 10/40 = 1/4.

* Ước lượng Nhóm 2:
1/41 + 1/42 + … + 1/50
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/50.
Vậy: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 > 1/50 + 1/50 + … + 1/50 (10 phân số)
Tổng của nhóm 2 > 10 * (1/50) = 10/50 = 1/5.

* Ước lượng Nhóm 3:
1/51 + 1/52 + … + 1/60
Tất cả các phân số này đều lớn hơn 1/60.
Vậy: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 > 1/60 + 1/60 + … + 1/60 (10 phân số)
Tổng của nhóm 3 > 10 * (1/60) = 10/60 = 1/6.

Bây giờ, chúng ta cộng các ước lượng lại:
S = (Nhóm 1) + (Nhóm 2) + (Nhóm 3)
S > 1/4 + 1/5 + 1/6.

Chúng ta cần quy đồng mẫu số để so sánh với 3/5. Mẫu số chung nhỏ nhất của 4, 5, 6 là 60.
1/4 = 15/60
1/5 = 12/60
1/6 = 10/60
Vậy S > 15/60 + 12/60 + 10/60 = 37/60.

Bây giờ, chúng ta cần so sánh 37/60 với 3/5.
3/5 = 3*12 / 5*12 = 36/60.
Vì 37/60 > 36/60, nên S > 37/60 > 36/60, tức là S > 3/5.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được phần thứ nhất: S > 3/5.

Bước 3: Tìm cách chứng minh S < 4/5.

Để chứng minh S < 4/5, chúng ta sẽ sử dụng cách ước lượng bằng cách so sánh với phân số có mẫu số nhỏ nhất trong nhóm. Chúng ta vẫn sử dụng 3 nhóm như trên: Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + ... + 1/40 (10 phân số) Nhóm 2: 1/41 + 1/42 + ... + 1/50 (10 phân số) Nhóm 3: 1/51 + 1/52 + ... + 1/60 (10 phân số) * Ước lượng Nhóm 1:
1/31 + 1/32 + … + 1/40
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/31.
Vậy: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 < 1/31 + 1/31 + ... + 1/31 (10 phân số) Tổng của nhóm 1 < 10 * (1/31) = 10/31. * Ước lượng Nhóm 2:
1/41 + 1/42 + … + 1/50
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/41.
Vậy: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 < 1/41 + 1/41 + ... + 1/41 (10 phân số) Tổng của nhóm 2 < 10 * (1/41) = 10/41. * Ước lượng Nhóm 3:
1/51 + 1/52 + … + 1/60
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/51.
Vậy: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 < 1/51 + 1/51 + ... + 1/51 (10 phân số) Tổng của nhóm 3 < 10 * (1/51) = 10/51. Bây giờ, chúng ta cộng các ước lượng lại: S = (Nhóm 1) + (Nhóm 2) + (Nhóm 3) S < 10/31 + 10/41 + 10/51. Cô xin lỗi, cách ước lượng này vẫn chưa thuận tiện để so sánh với 4/5. Chúng ta cần tìm một cách ước lượng sao cho tổng các phân số chặn trên cộng lại ra một số nhỏ hơn 4/5.

Hãy thử lại với cách chia nhóm ban đầu, cô đã làm đúng ở bước 2. Bây giờ chúng ta sẽ ước lượng chặn trên.

Chúng ta có 30 phân số. Cô sẽ chia thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 6 phân số.
Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36 (6 phân số)
Nhóm 2: 1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42 (6 phân số)
Nhóm 3: 1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48 (6 phân số)
Nhóm 4: 1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54 (6 phân số)
Nhóm 5: 1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60 (6 phân số)

Bây giờ, chúng ta sẽ ước lượng giá trị của mỗi nhóm bằng cách so sánh với phân số có mẫu số nhỏ nhất trong nhóm đó.

* Ước lượng Nhóm 1:
1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/31.
Vậy: 1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36 < 1/31 + 1/31 + 1/31 + 1/31 + 1/31 + 1/31 Tổng của nhóm 1 < 6 * (1/31) = 6/31. * Ước lượng Nhóm 2:
1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/37.
Vậy: 1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42 < 1/37 + 1/37 + 1/37 + 1/37 + 1/37 + 1/37 Tổng của nhóm 2 < 6 * (1/37) = 6/37. * Ước lượng Nhóm 3:
1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/43.
Vậy: 1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48 < 1/43 + 1/43 + 1/43 + 1/43 + 1/43 + 1/43 Tổng của nhóm 3 < 6 * (1/43) = 6/43. * Ước lượng Nhóm 4:
1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/49.
Vậy: 1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54 < 1/49 + 1/49 + 1/49 + 1/49 + 1/49 + 1/49 Tổng của nhóm 4 < 6 * (1/49) = 6/49. * Ước lượng Nhóm 5:
1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/55.
Vậy: 1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60 < 1/55 + 1/55 + 1/55 + 1/55 + 1/55 + 1/55 Tổng của nhóm 5 < 6 * (1/55) = 6/55. Bây giờ, chúng ta cộng các ước lượng lại: S = (Nhóm 1) + (Nhóm 2) + (Nhóm 3) + (Nhóm 4) + (Nhóm 5) S < 6/31 + 6/37 + 6/43 + 6/49 + 6/55. Cô xin lỗi, cách ước lượng này vẫn chưa ra kết quả mong muốn 4/5. Chúng ta cần tìm cách chặn trên sao cho tổng các phân số chặn trên cộng lại ra một số nhỏ hơn 4/5.

Hãy thử lại với cách chia 10 phân số một nhóm, chúng ta có 3 nhóm.
Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 (10 phân số)
Nhóm 2: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 (10 phân số)
Nhóm 3: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 (10 phân số)

* Ước lượng Nhóm 1:
1/31 + 1/32 + … + 1/40
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/31.
Vậy: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 < 1/31 + 1/31 + ... + 1/31 (10 phân số) Tổng của nhóm 1 < 10 * (1/31) = 10/31. * Ước lượng Nhóm 2:
1/41 + 1/42 + … + 1/50
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/41.
Vậy: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 < 1/41 + 1/41 + ... + 1/41 (10 phân số) Tổng của nhóm 2 < 10 * (1/41) = 10/41. * Ước lượng Nhóm 3:
1/51 + 1/52 + … + 1/60
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/51.
Vậy: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 < 1/51 + 1/51 + ... + 1/51 (10 phân số) Tổng của nhóm 3 < 10 * (1/51) = 10/51. Bây giờ, chúng ta cộng các ước lượng lại: S = (Nhóm 1) + (Nhóm 2) + (Nhóm 3) S < 10/31 + 10/41 + 10/51. Cô xin lỗi, cách chia này vẫn không hiệu quả để chứng minh S < 4/5 một cách trực tiếp với các mẫu số 31, 41, 51.

Chúng ta cần tìm cách chia nhóm và ước lượng sao cho tổng các phân số chặn trên cộng lại ra một số nhỏ hơn 4/5.
Hãy thử lại với 5 nhóm, mỗi nhóm 6 phân số, nhưng cô sẽ ước lượng chặn trên với phân số có mẫu số LỚN NHẤT trong nhóm.
Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36
Nhóm 2: 1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42
Nhóm 3: 1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48
Nhóm 4: 1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54
Nhóm 5: 1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60

* Ước lượng Nhóm 1:
1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/31.
Để chặn trên, chúng ta dùng phân số có mẫu số NHỎ NHẤT trong nhóm.
Phân số lớn nhất là 1/31.
Vậy: 1/31 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36 < 1/31 + 1/31 + 1/31 + 1/31 + 1/31 + 1/31 (6 lần) Tổng của nhóm 1 < 6 * (1/31) = 6/31. * Ước lượng Nhóm 2:
1/37 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/41 + 1/42
Phân số lớn nhất là 1/37.
Tổng của nhóm 2 < 6 * (1/37) = 6/37. * Ước lượng Nhóm 3:
1/43 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/47 + 1/48
Phân số lớn nhất là 1/43.
Tổng của nhóm 3 < 6 * (1/43) = 6/43. * Ước lượng Nhóm 4:
1/49 + 1/50 + 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54
Phân số lớn nhất là 1/49.
Tổng của nhóm 4 < 6 * (1/49) = 6/49. * Ước lượng Nhóm 5:
1/55 + 1/56 + 1/57 + 1/58 + 1/59 + 1/60
Phân số lớn nhất là 1/55.
Tổng của nhóm 5 < 6 * (1/55) = 6/55. Tổng cộng: S < 6/31 + 6/37 + 6/43 + 6/49 + 6/55. Cô xin lỗi, cách ước lượng này cũng không dễ dàng quy đồng để so sánh với 4/5.

Cô nhận ra rằng chúng ta cần ước lượng sao cho các phân số mẫu số được làm tròn lên hoặc làm tròn xuống một cách hợp lý.

Hãy quay lại cách chia 10 phân số một nhóm.
Nhóm 1: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 (10 phân số)
Nhóm 2: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 (10 phân số)
Nhóm 3: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 (10 phân số)

Để chứng minh S < 4/5, cô sẽ ước lượng chặn trên như sau: * Ước lượng Nhóm 1:
1/31 + 1/32 + … + 1/40
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/30 (vì 31 > 30, 32 > 30, … 40 > 30).
Vậy: 1/31 + 1/32 + … + 1/40 < 1/30 + 1/30 + ... + 1/30 (10 phân số) Tổng của nhóm 1 < 10 * (1/30) = 10/30 = 1/3. * Ước lượng Nhóm 2:
1/41 + 1/42 + … + 1/50
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/40 (vì 41 > 40, 42 > 40, … 50 > 40).
Vậy: 1/41 + 1/42 + … + 1/50 < 1/40 + 1/40 + ... + 1/40 (10 phân số) Tổng của nhóm 2 < 10 * (1/40) = 10/40 = 1/4. * Ước lượng Nhóm 3:
1/51 + 1/52 + … + 1/60
Tất cả các phân số này đều nhỏ hơn 1/50 (vì 51 > 50, 52 > 50, … 60 > 50).
Vậy: 1/51 + 1/52 + … + 1/60 < 1/50 + 1/50 + ... + 1/50 (10 phân số) Tổng của nhóm 3 < 10 * (1/50) = 10/50 = 1/5. Bây giờ, chúng ta cộng các ước lượng lại: S = (Nhóm 1) + (Nhóm 2) + (Nhóm 3) S < 1/3 + 1/4 + 1/5. Chúng ta cần quy đồng mẫu số để so sánh với 4/5. Mẫu số chung nhỏ nhất của 3, 4, 5 là 60. 1/3 = 20/60 1/4 = 15/60 1/5 = 12/60 Vậy S < 20/60 + 15/60 + 12/60 = 47/60. Bây giờ, chúng ta cần so sánh 47/60 với 4/5. 4/5 = 4*12 / 5*12 = 48/60. Vì 47/60 < 48/60, nên S < 47/60 < 48/60, tức là S < 4/5. Vậy, chúng ta đã chứng minh được phần thứ hai: S < 4/5.

Kết luận:

Từ hai kết quả đã chứng minh ở trên:
Ta có S > 3/5 (chứng minh ở Bước 2)
Và S < 4/5 (chứng minh ở Bước 3) Kết hợp hai bất đẳng thức này lại, ta được điều phải chứng minh: 3/5 < S < 4/5.

Vậy là cô đã hướng dẫn các em hoàn thành bài toán. Các em thấy đó, với những bài toán chứng minh bất đẳng thức, việc chia nhóm và ước lượng khéo léo là chìa khóa để giải quyết bài toán.

Các em hãy xem lại bài giải và ghi chép cẩn thận nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!