Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé.

Đây là một bài toán lượng giác rất quen thuộc trong chương trình lớp 11 của chúng ta. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm cách biểu diễn các giá trị \( \tan a \) và \( \cot a \) thông qua giá trị \( \sin a \) đã cho.

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức A

Ta thấy biểu thức A chứa cả \( \tan a \) và \( \cot a \). Để đơn giản hóa, chúng ta có thể biểu diễn tất cả theo \( \tan a \) hoặc \( \cot a \). Thầy sẽ chọn biểu diễn theo \( \tan a \) nhé.

Ta có công thức cơ bản: \( \cot a = \frac{1}{\tan a} \).

Thay vào biểu thức A, ta được:
\[ A = \frac{\frac{1}{\tan a} – \tan a}{\tan a + 2 \cdot \frac{1}{\tan a}} \]
Để khử mẫu số trong tử và mẫu, ta nhân cả tử và mẫu của biểu thức trên với \( \tan a \):
\[ A = \frac{\tan a \cdot (\frac{1}{\tan a} – \tan a)}{\tan a \cdot (\tan a + \frac{2}{\tan a})} \]
\[ A = \frac{1 – \tan^2 a}{\tan^2 a + 2} \]
Như vậy, các em thấy rằng, để tính được giá trị của A, chúng ta chỉ cần tìm được giá trị của \( \tan^2 a \) là đủ. Cách làm này sẽ giúp chúng ta không cần phải xét dấu của \( \cos a \), rất tiện lợi.

Bước 2: Tìm giá trị của \( \tan^2 a \) từ \( \sin a \)

Theo đề bài, ta có \( \sin a = \frac{1}{3} \).
Suy ra \( \sin^2 a = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \).

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản mà các em đã học: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).
Từ đó, ta tính được \( \cos^2 a \):
\[ \cos^2 a = 1 – \sin^2 a = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]
Bây giờ, chúng ta sẽ tìm \( \tan^2 a \). Ta có công thức:
\[ \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \]
Thay các giá trị đã tính ở trên vào:
\[ \tan^2 a = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8} \]

Bước 3: Thay số và tính giá trị của biểu thức A

Ở Bước 1, chúng ta đã rút gọn được \( A = \frac{1 – \tan^2 a}{\tan^2 a + 2} \).
Ở Bước 2, chúng ta đã tính được \( \tan^2 a = \frac{1}{8} \).

Bây giờ, chúng ta chỉ cần thay giá trị này vào biểu thức A:
\[ A = \frac{1 – \frac{1}{8}}{\frac{1}{8} + 2} \]
Tính toán trên tử số và mẫu số:
\[ A = \frac{\frac{8}{8} – \frac{1}{8}}{\frac{1}{8} + \frac{16}{8}} \]
\[ A = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{17}{8}} \]
\[ A = \frac{7}{17} \]

Kết luận

Vậy, giá trị của biểu thức là \( A = \frac{7}{17} \).

Các em thấy không, bằng cách biến đổi biểu thức A một cách khéo léo ngay từ đầu, chúng ta đã đưa bài toán về dạng chỉ phụ thuộc vào \( \tan^2 a \), giúp việc tính toán trở nên đơn giản hơn và tránh phải xét trường hợp. Đây là một kỹ năng quan trọng khi giải các bài toán lượng giác phức tạp. Chúc các em học tốt