Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập quen thuộc về lượng giác trong chương trình Toán lớp 9. Đề bài cho chúng ta biết giá trị của sin alpha, và yêu cầu tính các giá trị còn lại là cos alpha, tan alpha và cot alpha.

Chúng ta bắt đầu nhé!

Bước 1: Xác định góc alpha (nếu có thể).

Đề bài cho sin alpha = 1/2.
Trong chương trình lớp 9, chúng ta đã học về các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
Chúng ta biết rằng sin(30 độ) = 1/2.
Vậy, trong trường hợp này, ta có thể xem alpha = 30 độ.

Bước 2: Tính cos alpha.

Để tính cos alpha, chúng ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản, đó là công thức liên hệ giữa sin và cos:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Từ công thức này, ta có thể suy ra:
\[ \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha \]
Thay giá trị sin alpha = 1/2 vào công thức:
\[ \cos^2 \alpha = 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ \cos^2 \alpha = 1 – \frac{1}{4} \]
\[ \cos^2 \alpha = \frac{3}{4} \]
Bây giờ, chúng ta lấy căn bậc hai hai vế:
\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \]
\[ \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ở đây, cô lưu ý với các em. Nếu đề bài không cho biết góc alpha thuộc góc phần tư nào, thì cos alpha có thể nhận cả hai giá trị dương và âm. Tuy nhiên, vì chúng ta đã xác định alpha = 30 độ (là một góc nhọn, nằm trong góc phần tư thứ nhất), nên cos alpha sẽ là giá trị dương.
Vậy, cos alpha = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Bước 3: Tính tan alpha.

Để tính tan alpha, chúng ta sử dụng công thức liên hệ giữa tan và sin, cos:
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\[ \tan \alpha = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
Để chia hai phân số, ta nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai:
\[ \tan \alpha = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} \]
\[ \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Để mẫu số không còn căn thức, chúng ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\):
\[ \tan \alpha = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \]
\[ \tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Bước 4: Tính cot alpha.

Tương tự như tan alpha, chúng ta có công thức liên hệ giữa cot và sin, cos:
\[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\[ \cot \alpha = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \]
Thực hiện phép chia hai phân số:
\[ \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1} \]
\[ \cot \alpha = \sqrt{3} \]

Ngoài ra, chúng ta còn có một công thức liên hệ khác giữa tan alpha và cot alpha mà các em cần nhớ:
\[ \tan \alpha \times \cot \alpha = 1 \]
Từ đó, ta có thể suy ra:
\[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \]
Thay giá trị tan alpha = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) vào:
\[ \cot \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} \]
\[ \cot \alpha = 1 \times \frac{3}{\sqrt{3}} \]
\[ \cot \alpha = \frac{3}{\sqrt{3}} \]
Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\) để trục căn thức ở mẫu:
\[ \cot \alpha = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \]
\[ \cot \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{3} \]
\[ \cot \alpha = \sqrt{3} \]
Kết quả thu được hoàn toàn giống nhau.

Tổng kết kết quả:

Với sin alpha = 1/2 và alpha là góc nhọn, ta có:
cos alpha = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
tan alpha = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
cot alpha = \(\sqrt{3}\)

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết dạng bài tập này. Hãy ôn tập thật kỹ các công thức này nhé! Buổi học của chúng ta hôm nay đến đây là kết thúc. Hẹn gặp lại các em trong các bài học tiếp theo!