Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em chinh phục một bài toán phương trình lượng giác quen thuộc, bám sát kiến thức trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Bài tập của chúng ta hôm nay là giải phương trình:

sin(4x) – cos(4x) = 1

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết, từng bước, đảm bảo các em đều hiểu rõ.

Bước 1: Nhận dạng dạng toán và phương pháp giải

Quan sát phương trình, chúng ta thấy có dạng \(a \sin(u) + b \cos(u) = c\), với \(a = 1\), \(b = -1\) và \(u = 4x\), \(c = 1\).

Đối với dạng phương trình này, phương pháp chung là chia cả hai vế cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\).

Ở đây, ta có \(a^2 + b^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\).
Vậy, \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}\).

Bước 2: Chia cả hai vế cho \(\sqrt{2}\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{2}\), ta được:

\[ \frac{\sin(4x)}{\sqrt{2}} – \frac{\cos(4x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Bước 3: Biến đổi về dạng \(\sin(A-B)\) hoặc \(\cos(A+B)\)

Ta có thể viết lại các hệ số như sau:
\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\)

Bây giờ, ta xem xét vế trái:
\(\frac{\sin(4x)}{\sqrt{2}} – \frac{\cos(4x)}{\sqrt{2}}\)

Chúng ta có thể biến đổi như sau:
Sử dụng công thức \(\sin(A-B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B\).
Ta chọn \(A = 4x\). Để áp dụng công thức này, ta cần \(\cos B = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Giá trị góc \(B\) thỏa mãn là \(B = \frac{\pi}{4}\).
Vậy, vế trái trở thành:
\[ \sin(4x) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) – \cos(4x) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(4x – \frac{\pi}{4}\right) \]

Hoặc, chúng ta có thể biến đổi như sau:
Sử dụng công thức \(\cos(A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B\).
Ta chọn \(A = 4x\). Để áp dụng công thức này, ta cần \(\cos B = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Giá trị góc \(B\) thỏa mãn là \(B = \frac{\pi}{4}\).
Tuy nhiên, ở đây ta có dấu trừ trước \(\cos(4x)\). Để đưa về dạng \(\cos(A+B)\), ta có thể viết lại:
\[ \sin(4x) – \cos(4x) = -\cos(4x) + \sin(4x) \]
Nhân cả hai vế với -1:
\[ -\sin(4x) + \cos(4x) = -1 \]
Chia cả hai vế cho \(\sqrt{2}\):
\[ -\frac{\sin(4x)}{\sqrt{2}} + \frac{\cos(4x)}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ \frac{\cos(4x)}{\sqrt{2}} – \frac{\sin(4x)}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
Sử dụng công thức \(\cos(A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B\).
Ta chọn \(A = 4x\). Cần \(\cos B = \frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Vậy \(B = \frac{\pi}{4}\).
\[ \cos(4x) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) – \sin(4x) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(4x + \frac{\pi}{4}\right) \]
Vế phải lúc này là \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Tuy nhiên, cách biến đổi về \(\sin\left(4x – \frac{\pi}{4}\right)\) ở trên là trực tiếp và gọn gàng hơn.

Vậy, phương trình trở thành:
\[ \sin\left(4x – \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Ta có phương trình \(\sin(\alpha) = m\).
Ở đây, \(\alpha = 4x – \frac{\pi}{4}\) và \(m = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Ta biết \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Do đó, phương trình \(\sin\left(4x – \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) tương đương với hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:
\[ 4x – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Trường hợp 2:
\[ 4x – \frac{\pi}{4} = \pi – \frac{\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
\[ 4x – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Bước 5: Tìm nghiệm x cho từng trường hợp

Xét Trường hợp 1:
\[ 4x – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \]
Chuyển \(\frac{\pi}{4}\) sang vế phải:
\[ 4x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \]
\[ 4x = \frac{2\pi}{4} + k2\pi \]
\[ 4x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \]
Chia cả hai vế cho 4:
\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k2\pi}{4} \]
\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Xét Trường hợp 2:
\[ 4x – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \]
Chuyển \(\frac{\pi}{4}\) sang vế phải:
\[ 4x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \]
\[ 4x = \frac{4\pi}{4} + k2\pi \]
\[ 4x = \pi + k2\pi \]
Chia cả hai vế cho 4:
\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k2\pi}{4} \]
\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Bước 6: Kết luận tập nghiệm của phương trình

Vậy, phương trình đã cho có hai họ nghiệm là:
\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
và
\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Chúng ta có thể viết gọn tập nghiệm lại như sau:
Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước, các em đã nắm vững cách giải dạng phương trình này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!