cho sin x + cos x = 15 , tính sin x , cos x , tan x, cot x

Chào các em học sinh, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về lượng giác rất hay và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta tính giá trị của $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ khi biết tổng của $\sin x$ và $\cos x$. Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức cơ bản về hệ thức lượng trong tam giác vuông và phương pháp giải hệ phương trình, phương trình bậc hai đã học để giải quyết bài toán này.

BÀI GIẢI CHI TIẾT:

Đề bài cho chúng ta biết: $\sin x+\cos x=\frac{1}{5}$ (1)

Chúng ta cần tính $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$.

Bước 1: Tìm tích $\sin x·\cos x$

Để tìm được từng giá trị $\sin x$ và $\cos x$, chúng ta thường cần hai phương trình liên quan đến chúng. Phương trình thứ nhất đã cho. Phương trình thứ hai mà chúng ta luôn biết trong lượng giác là hằng đẳng thức cơ bản: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Từ phương trình (1) và hằng đẳng thức này, chúng ta có thể tìm được tích $\sin x·\cos x$.

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

${(\sin x+\cos x)}^2={\left(\frac{1}{5}\right)}^2$

Áp dụng hằng đẳng thức ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$, ta có:

${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{1}{25}$

Theo hằng đẳng thức cơ bản ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, ta thay vào phương trình trên:

$1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}$

Chuyển 1 sang vế phải:

$2\sin x\cos x=\frac{1}{25}–1$

$2\sin x\cos x=\frac{1}{25}–\frac{25}{25}$

$2\sin x\cos x=–\frac{24}{25}$

Chia cả hai vế cho 2:

$\sin x\cos x=–\frac{12}{25}$ (2)

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm $\sin x$ và $\cos x$

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn là $\sin x$ và $\cos x$:

$\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos x=\frac{1}{5}\\ \sin x\cos x=–\frac{12}{25}\end{array}\right.$

Chúng ta biết rằng nếu hai số $u$ và $v$ có tổng là $S$ và tích là $P$, thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai $t^2–St+P=0$. Ở đây, $u=\sin x$ và $v=\cos x$.

Vậy $\sin x$ và $\cos x$ là nghiệm của phương trình:

$t^2–\frac{1}{5}t–\frac{12}{25}=0$

Để giải phương trình này, chúng ta có thể quy đồng mẫu số hoặc nhân cả hai vế với 25 để loại bỏ mẫu số:

$25t^2–5t–12=0$

Đây là một phương trình bậc hai có dạng $a{t}^2+bt+c=0$ với $a=25$, $b=–5$, $c=–12$.

Tính biệt thức $\Delta =b^2–4ac$:

$\Delta ={(–5)}^2–4\left(25\right)(–12)$

$\Delta =25+1200$

$\Delta =1225$

Vì $\Delta >0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tính $\sqrt{\Delta }$:

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1225}=35$

Các nghiệm của phương trình là: