Chào các em học sinh thân yêu của lớp 8! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến các biểu thức đại số. Đề bài cho chúng ta hai điều kiện quen thuộc: \(xy=10\) và \(x+y=7\). Nhiệm vụ của chúng ta là tính giá trị của ba biểu thức: \(x^2+y^2\); \(x^3-y^3\); và \(x^5-y^5\).

Lưu ý quan trọng: Theo yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ không sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương \(x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)\) để tính \(x^3-y^3\). Chúng ta sẽ tìm cách khác nhé!

Chúng ta cùng bắt đầu nào!

Bước 1: Tính \(x^2+y^2\)
Các em còn nhớ hằng đẳng thức quen thuộc nào liên quan đến \(x^2+y^2\) không nhỉ? Đúng rồi, đó là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).
Từ hằng đẳng thức này, chúng ta có thể suy ra cách tính \(x^2+y^2\):
\(x^2+y^2 = (x+y)^2 – 2xy\)
Bây giờ, chúng ta chỉ cần thay các giá trị đã cho vào công thức này:
\(x+y = 7\) và \(xy = 10\).
Vậy, \(x^2+y^2 = (7)^2 – 2 \times 10 = 49 – 20 = 29\).
Chúng ta đã tính xong biểu thức đầu tiên: \(x^2+y^2 = 29\).

Bước 2: Tính \(x^3-y^3\) (Không dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương)
Đây là phần “thử thách” của bài toán. Chúng ta cần tìm một cách khác để tính \(x^3-y^3\).
Chúng ta hãy thử xem liệu có thể tách \(x^3-y^3\) thành các biểu thức mà chúng ta đã biết giá trị không.
Chúng ta có thể viết \(x^3-y^3\) như thế nào nhỉ? Một ý tưởng là xem xét các tích của các biểu thức đã biết.
Thử nhân \(x^2+y^2\) với \(x-y\) xem sao: \((x^2+y^2)(x-y) = x^3 – x^2y + xy^2 – y^3\). Biểu thức này chưa giống \(x^3-y^3\) lắm.
Thử nhân \(x^2+y^2\) với \(x+y\): \((x^2+y^2)(x+y) = x^3 + x^2y + xy^2 + y^3\). Biểu thức này cũng chưa giúp ích.
Tuy nhiên, chúng ta đã có \(x^2+y^2 = 29\). Nếu chúng ta tìm được giá trị của \(x-y\), có lẽ sẽ có cách. Nhưng đề bài không cho \(x-y\) mà lại cho \(x+y\).

Hãy nghĩ theo một hướng khác: Chúng ta có thể viết \(x^3-y^3\) liên quan đến \(x+y\) và \(xy\) như thế nào?
Xét biểu thức \((x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 = (x^2+y^2) – 2xy\). Chúng ta đã tính được \(x^2+y^2=29\), vậy \((x-y)^2 = 29 – 2 \times 10 = 29 – 20 = 9\).
Từ \((x-y)^2 = 9\), ta suy ra \(x-y = 3\) hoặc \(x-y = -3\).
Tuy nhiên, đề bài không yêu cầu chúng ta tìm giá trị cụ thể của \(x\) và \(y\), và cũng không có điều kiện gì để xác định rõ \(x-y\) dương hay âm. Liệu \(x^3-y^3\) có phụ thuộc vào dấu của \(x-y\) không? Có đấy!

Chúng ta hãy thử tách \(x^3-y^3\) theo cách khác để có thể sử dụng các giá trị đã biết: \(x+y\) và \(xy\).
Xét tích \((x-y)^3\). Hằng đẳng thức này là \((x-y)^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 = x^3 – y^3 – 3xy(x-y)\).
Từ đó, ta có \(x^3-y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y)\).
Bây giờ, chúng ta cần giá trị của \(x-y\). Như đã phân tích ở trên, \((x-y)^2 = 9\).
Nhưng chúng ta không thể kết luận ngay \(x-y = 3\) hoặc \(x-y = -3\) một cách chắc chắn để tính \(x^3-y^3\).

Các em ơi, có một cách tiếp cận khác mà không cần phải dùng đến \(x-y\) một cách trực tiếp cho \(x^3-y^3\).
Chúng ta hãy thử dùng phép trừ của các lũy thừa.
Ta có \(x^3 – y^3\). Các em có nhớ công thức khai triển của \((x-y)(x^2+xy+y^2)\) không? Tuyệt đối không được dùng.
Nhưng liệu có thể biểu diễn \(x^3-y^3\) qua \(x^2+y^2\) và \(x+y\), \(xy\) không?

Hãy nghĩ về cách tạo ra \(x^3\) và \(y^3\).
Ta biết \(x^2+y^2=29\).
Thử nhân \(x^2+y^2\) với \(x\): \(x(x^2+y^2) = x^3+xy^2\).
Thử nhân \(x^2+y^2\) với \(y\): \(y(x^2+y^2) = xy^2+y^3\).
Nếu ta lấy \(x(x^2+y^2) – y(x^2+y^2)\), ta được:
\(x^3+xy^2 – (xy^2+y^3) = x^3+xy^2 – xy^2 – y^3 = x^3-y^3\).
Hay: \((x-y)(x^2+y^2) = x^3-y^3\).
Vẫn là công thức liên quan đến \(x-y\).

Thôi nào, chúng ta hãy nhìn vào đề bài kỹ hơn. “Không dùng Hằng đẳng thức hiệu 2 lập phương”. Điều này có nghĩa là chúng ta phải dùng một cách tính khác.
Hãy thử dùng phương pháp cộng trừ theo vế.
Chúng ta đã biết \(x^2+y^2 = 29\).
Chúng ta có \(x+y=7\). Nhân hai vế với \(x^2\): \(x^3+x^2y = 7x^2\).
Chúng ta có \(x+y=7\). Nhân hai vế với \(y^2\): \(xy^2+y^3 = 7y^2\).
Điều này có vẻ hơi phức tạp.

Quay lại với \((x-y)^2 = 9\). Vậy \(x-y = 3\) hoặc \(x-y = -3\).
Nếu \(x-y = 3\), thì \(x = y+3\). Thay vào \(xy=10\): \((y+3)y = 10 \implies y^2+3y-10 = 0\).
Phương trình này có hai nghiệm: \(y = 2\) hoặc \(y = -5\).
Nếu \(y=2\), thì \(x=2+3=5\). Khi đó \(x+y=5+2=7\) (đúng), \(xy=5 \times 2 = 10\) (đúng).
Nếu \(y=-5\), thì \(x=-5+3=-2\). Khi đó \(x+y=-2+(-5)=-7\) (sai).
Vậy trường hợp \(x-y=3\) chỉ có nghiệm \(x=5, y=2\).
Khi đó \(x^3-y^3 = 5^3 – 2^3 = 125 – 8 = 117\).

Nếu \(x-y = -3\), thì \(x = y-3\). Thay vào \(xy=10\): \((y-3)y = 10 \implies y^2-3y-10 = 0\).
Phương trình này có hai nghiệm: \(y = 5\) hoặc \(y = -2\).
Nếu \(y=5\), thì \(x=5-3=2\). Khi đó \(x+y=2+5=7\) (đúng), \(xy=2 \times 5 = 10\) (đúng).
Nếu \(y=-2\), thì \(x=-2-3=-5\). Khi đó \(x+y=-5+(-2)=-7\) (sai).
Vậy trường hợp \(x-y=-3\) chỉ có nghiệm \(x=2, y=5\).
Khi đó \(x^3-y^3 = 2^3 – 5^3 = 8 – 125 = -117\).

Ồ, vậy là \(x^3-y^3\) có thể có hai giá trị là \(117\) hoặc \(-117\). Điều này phụ thuộc vào \(x\) và \(y\) là hoán đổi vị trí cho nhau.
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính giá trị của \(x^3-y^3\). Điều này ngụ ý là chỉ có một giá trị duy nhất. Có lẽ chúng ta đã bỏ sót điều gì đó hoặc cách tiếp cận này không phải là cách mà đề bài mong muốn khi yêu cầu “không dùng Hằng đẳng thức hiệu 2 lập phương”.

Hãy xem xét lại bài toán. Chúng ta đã tính \(x^2+y^2=29\).
Chúng ta có \(x+y=7\).
Chúng ta có \(xy=10\).

Một cách khác để tính \(x^3-y^3\) mà không dùng trực tiếp \(x-y\) là gì?
Thử nghĩ về cách tạo ra \(x^3\) và \(y^3\) từ các biểu thức đã biết.
Ta có \((x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = x^3+y^3 + 3xy(x+y)\).
Từ đây, ta có thể tính \(x^3+y^3\):
\(x^3+y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)\).
\(x^3+y^3 = (7)^3 – 3 \times 10 \times 7 = 343 – 210 = 133\).
Vậy \(x^3+y^3 = 133\).

Nhưng đề bài yêu cầu tính \(x^3-y^3\).
Có thể đề bài muốn chúng ta sử dụng một phép biến đổi khéo léo hơn.
Chúng ta đã có \(x^2+y^2 = 29\).
Ta biết \(x+y=7\).
Và \(xy=10\).

Hãy xem xét \(x^3-y^3\) một lần nữa.
Chúng ta đã biết \((x-y)^2 = 9\).
Có thể đề bài ngầm hiểu rằng chúng ta đang xét một cặp \((x,y)\) cụ thể, và trong cặp đó, \(x^3-y^3\) sẽ có một giá trị.
Nếu ta coi \(x\) và \(y\) là nghiệm của phương trình \(t^2 – (x+y)t + xy = 0\), tức là \(t^2 – 7t + 10 = 0\).
Phương trình này có hai nghiệm là \(t=2\) và \(t=5\).
Vậy, \((x,y)\) có thể là \((2,5)\) hoặc \((5,2)\).
Trường hợp 1: \(x=2, y=5\).
Thì \(x^3-y^3 = 2^3 – 5^3 = 8 – 125 = -117\).
Trường hợp 2: \(x=5, y=2\).
Thì \(x^3-y^3 = 5^3 – 2^3 = 125 – 8 = 117\).

Như vậy, giá trị của \(x^3-y^3\) có thể là \(117\) hoặc \(-117\).
Tuy nhiên, khi đề bài yêu cầu “tính giá trị”, thường sẽ là một giá trị duy nhất. Điều này có thể do cách ra đề hoặc do chúng ta cần tìm một biểu thức đồng nhất.

Chúng ta hãy thử cách này:
\(x^3-y^3 = x^3+y^3 – 2y^3\) (không hợp lý).

Hãy quay lại với \((x-y)^2 = 9\).
Chúng ta có \(x^3 – y^3\).
Có thể đề bài muốn chúng ta sử dụng phép trừ theo vế của hai biểu thức.
Xét \(x^3\) và \(y^3\).
Chúng ta có \(x^2+y^2=29\).
Ta có \(x+y=7\).

Nghĩ xem, chúng ta có thể tạo ra \(x^3-y^3\) bằng cách nhân một biểu thức có \(x\) với một biểu thức có \(x^2\) và trừ đi biểu thức tương tự cho \(y\).
Ta có \(x(x^2+y^2) = x^3+xy^2\).
Ta có \(y(x^2+y^2) = xy^2+y^3\).
Lấy hai biểu thức này trừ nhau:
\(x(x^2+y^2) – y(x^2+y^2) = (x^3+xy^2) – (xy^2+y^3) = x^3-y^3\).
Vậy \(x^3-y^3 = (x-y)(x^2+y^2)\).
Chúng ta đã tính được \(x^2+y^2=29\).
Và ta biết \((x-y)^2=9\), nên \(x-y\) có thể là \(3\) hoặc \(-3\).
Nếu \(x-y = 3\), thì \(x^3-y^3 = 3 \times 29 = 87\). (Sai, vì \(5^3-2^3 = 117\)).
Nếu \(x-y = -3\), thì \(x^3-y^3 = -3 \times 29 = -87\). (Sai, vì \(2^3-5^3 = -117\)).

Có lẽ cách giải thích về việc \(x, y\) là nghiệm của phương trình \(t^2-7t+10=0\) là cách đúng đắn để hiểu bài toán này.
Và khi đề bài nói “tính giá trị”, nó ngụ ý rằng giá trị này là duy nhất.
Điều này có thể xảy ra nếu \(x=y\), nhưng \(xy=10\) và \(x+y=7\) không cho \(x=y\).

Thế này nhé các em.
Chúng ta đã biết rằng \((x,y)\) có thể là \((2,5)\) hoặc \((5,2)\).
Nếu đề bài yêu cầu tính \(x^3-y^3\), thì có hai khả năng.
Tuy nhiên, trong một số trường hợp, khi đề bài không nói rõ \(x > y\) hay \(y > x\), người ta có thể chấp nhận một trong hai giá trị hoặc giá trị tuyệt đối.
Nhưng cách ra đề như thế này thường ám chỉ một giá trị duy nhất.

Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác để tính \(x^3-y^3\).
\(x^3-y^3\).
Ta có \(x^2+y^2 = 29\).
Ta có \(x+y = 7\).
Ta có \(xy = 10\).
Chúng ta cần \(x^3-y^3\).
Có một cách biến đổi là:
\(x^3 – y^3 = x^3 – x^2y + x^2y – xy^2 + xy^2 – y^3\)
\( = x^2(x-y) + xy(x-y) + y^2(x-y)\)
\( = (x-y)(x^2+xy+y^2)\)
Đây lại là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương. Vậy cách này là không được.

Bây giờ, chúng ta thực sự phải dùng đến việc tìm \(x\) và \(y\).
Xét phương trình \(t^2 – (x+y)t + xy = 0\), tức là \(t^2 – 7t + 10 = 0\).
Phương trình này có hai nghiệm là \(t_1 = 2\) và \(t_2 = 5\).
Vậy, cặp \((x,y)\) là \((2,5)\) hoặc \((5,2)\).
Với \((x,y) = (2,5)\), ta có \(x^3 – y^3 = 2^3 – 5^3 = 8 – 125 = -117\).
Với \((x,y) = (5,2)\), ta có \(x^3 – y^3 = 5^3 – 2^3 = 125 – 8 = 117\).

Nếu bài toán yêu cầu “tính giá trị”, và không có điều kiện phụ nào khác, có thể đề bài mong đợi ta trình bày cả hai khả năng hoặc dùng giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên, cách ra đề như thế này thường có một giá trị duy nhất.
Có lẽ, cách hiểu “không dùng hằng đẳng thức hiệu 2 lập phương” là để ta không viết trực tiếp \(x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)\) mà tìm cách khác.
Và cách tìm \(x, y\) là một cách hợp lệ và không dùng đến hằng đẳng thức đó.

Vậy, chúng ta sẽ ghi nhận hai trường hợp có thể xảy ra.
Nhưng để có một câu trả lời “hay nhất” và “nhanh”, chúng ta cần một cách tiếp cận quyết đoán hơn.

Giả sử, ta cứ tính theo một trường hợp trước, ví dụ \(x>y\).
Nếu \(x>y\), thì \(x=5\) và \(y=2\).
Khi đó \(x^3-y^3 = 5^3-2^3 = 117\).

Nếu đề bài không ràng buộc \(x\) và \(y\) theo thứ tự, thì có thể coi \(x^3-y^3\) là \(\pm 117\).
Nhưng nếu coi là một giá trị duy nhất, thì thường là \(\pm\).

Trong trường hợp này, để tránh mâu thuẫn hoặc thiếu sót, chúng ta sẽ trình bày theo cách tìm nghiệm của phương trình, vì nó trực tiếp giải quyết bài toán mà không dùng hằng đẳng thức bị cấm.

Bước 3: Tính \(x^5-y^5\)
Đây là phần khó hơn. Chúng ta cần tính \(x^5-y^5\).
Chúng ta đã biết:
\(x+y = 7\)
\(xy = 10\)
\(x^2+y^2 = 29\)
Và \(x^3+y^3 = 133\) (chúng ta đã tính ở trên để thử nghiệm).
Còn \(x^3-y^3\) thì có thể là \(117\) hoặc \(-117\).

Để tính \(x^5-y^5\), chúng ta có thể thử nhân các biểu thức có lũy thừa thấp để tạo ra lũy thừa 5.
Xét tích \((x^2+y^2)(x^3+y^3)\):
\((x^2+y^2)(x^3+y^3) = x^5 + x^2y^3 + y^2x^3 + y^5\)
\( = x^5+y^5 + x^2y^2(y+x)\)
\( = x^5+y^5 + (xy)^2(x+y)\).
Từ đó, \(x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) – (xy)^2(x+y)\).
Với \(x^2+y^2=29\), \(x^3+y^3=133\), \(xy=10\), \(x+y=7\):
\(x^5+y^5 = 29 \times 133 – (10)^2 \times 7\)
\(x^5+y^5 = 3857 – 100 \times 7\)
\(x^5+y^5 = 3857 – 700 = 3157\).

Tuy nhiên, chúng ta cần tính \(x^5-y^5\), không phải \(x^5+y^5\).
Chúng ta có thể thử nhân \((x^2-y^2)\) với \((x^3-y^3)\) không?
Ta đã biết \((x-y)^2=9\).
Nếu \(x-y = 3\), thì \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = 3 \times 7 = 21\).
Nếu \(x-y = -3\), thì \(x^2-y^2 = (-3) \times 7 = -21\).
Vậy \(x^2-y^2\) có thể là \(21\) hoặc \(-21\).

Xét tích \((x^2-y^2)(x^3-y^3)\):
\((x^2-y^2)(x^3-y^3) = x^5 – x^2y^3 – y^2x^3 + y^5\)
\( = x^5+y^5 – x^2y^3 – y^2x^3\)
\( = x^5+y^5 – x^2y^2(y+x)\)
\( = x^5+y^5 – (xy)^2(x+y)\).
Ồ, biểu thức này lại giống với biểu thức tính \(x^5+y^5\). Vậy là không đúng.

Chúng ta cần tìm cách tách \(x^5-y^5\).
Thử nhân \((x^2+y^2)\) với \((x^3-y^3)\):
\((x^2+y^2)(x^3-y^3) = x^5 – x^2y^3 + y^2x^3 – y^5\)
\( = x^5-y^5 – x^2y^3 + y^2x^3\)
\( = x^5-y^5 – x^2y^2(y-x)\)
\( = x^5-y^5 + (xy)^2(x-y)\).
Từ đó, \(x^5-y^5 = (x^2+y^2)(x^3-y^3) – (xy)^2(x-y)\).

Chúng ta có:
\(x^2+y^2 = 29\)
\(xy = 10\)
Và ta cần giá trị của \(x^3-y^3\) và \(x-y\).

Như chúng ta đã phân tích ở Bước 2, cặp \((x,y)\) có thể là \((2,5)\) hoặc \((5,2)\).

Trường hợp 1: \(x=5, y=2\).
\(x-y = 5-2 = 3\).
\(x^3-y^3 = 5^3-2^3 = 125-8 = 117\).
Khi đó, \(x^5-y^5 = (x^2+y^2)(x^3-y^3) – (xy)^2(x-y)\)
\(x^5-y^5 = 29 \times 117 – (10)^2 \times 3\)
\(x^5-y^5 = 3393 – 100 \times 3\)
\(x^5-y^5 = 3393 – 300 = 3093\).

Kiểm tra lại: \(5^5 – 2^5 = 3125 – 32 = 3093\). Đúng.

Trường hợp 2: \(x=2, y=5\).
\(x-y = 2-5 = -3\).
\(x^3-y^3 = 2^3-5^3 = 8-125 = -117\).
Khi đó, \(x^5-y^5 = (x^2+y^2)(x^3-y^3) – (xy)^2(x-y)\)
\(x^5-y^5 = 29 \times (-117) – (10)^2 \times (-3)\)
\(x^5-y^5 = -3393 – 100 \times (-3)\)
\(x^5-y^5 = -3393 + 300 = -3093\).

Kiểm tra lại: \(2^5 – 5^5 = 32 – 3125 = -3093\). Đúng.

Như vậy, tương tự như \(x^3-y^3\), giá trị của \(x^5-y^5\) cũng có hai khả năng, phụ thuộc vào việc \(x\) và \(y\) hoán đổi vị trí cho nhau.
Tuy nhiên, để cho bài toán có một “giá trị” duy nhất, chúng ta thường quy ước \(x\) và \(y\) là nghiệm của phương trình \(t^2-7t+10=0\), và xét cả hai trường hợp.

Trong trường hợp này, để câu trả lời hay nhất và nhanh nhất, chúng ta cần trình bày rõ ràng các bước và kết quả.

Kết luận:
Với \(xy=10\) và \(x+y=7\), chúng ta có các giá trị sau:
1. \(x^2+y^2 = 29\)
2. Để tính \(x^3-y^3\), ta xét phương trình \(t^2-7t+10=0\), có nghiệm \(t=2\) và \(t=5\).
Vậy \((x,y)\) có thể là \((5,2)\) hoặc \((2,5)\).
– Nếu \((x,y) = (5,2)\), thì \(x^3-y^3 = 5^3-2^3 = 117\).
– Nếu \((x,y) = (2,5)\), thì \(x^3-y^3 = 2^3-5^3 = -117\).
Do đó, \(x^3-y^3 = \pm 117\).
3. Để tính \(x^5-y^5\), ta sử dụng công thức: \(x^5-y^5 = (x^2+y^2)(x^3-y^3) – (xy)^2(x-y)\).
– Nếu \((x,y) = (5,2)\), thì \(x-y=3\) và \(x^3-y^3=117\).
\(x^5-y^5 = 29 \times 117 – 10^2 \times 3 = 3393 – 300 = 3093\).
– Nếu \((x,y) = (2,5)\), thì \(x-y=-3\) và \(x^3-y^3=-117\).
\(x^5-y^5 = 29 \times (-117) – 10^2 \times (-3) = -3393 + 300 = -3093\).
Do đó, \(x^5-y^5 = \pm 3093\).

Các em thấy đó, bài toán tuy có vẻ khó ở phần \(x^3-y^3\) và \(x^5-y^5\), nhưng nếu chúng ta phân tích kỹ và sử dụng các kiến thức đã học, đặc biệt là việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được. Chúc các em học tốt!