Chu vi của một đa giác là 158 cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộn…

Cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập này. Đây là một bài toán vận dụng kiến thức về cấp số cộng, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11 của chúng ta. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xác định các yếu tố của cấp số cộng và sử dụng các công thức đã học một cách khéo léo nhé.

Lời giải chi tiết:

Gọi số đo các cạnh của đa giác là một cấp số cộng với số hạng đầu là $u_1$ (cạnh nhỏ nhất) và công sai $d$.

Theo đề bài, ta có:

• Công sai: $d=3$ cm.
• Cạnh lớn nhất là 44 cm. Nếu đa giác có $n$ cạnh, thì cạnh lớn nhất chính là số hạng cuối cùng của cấp số cộng, tức là $u_n=44$ cm.
• Chu vi của đa giác là 158 cm, đây chính là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $S_n=158$ cm.

Giải thích phương pháp: Chúng ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản của cấp số cộng để lập hệ phương trình với các ẩn là số hạng đầu $u_1$ và số cạnh $n$ của đa giác. Sau khi tìm được $u_1$ và $n$, việc tìm số đo cạnh thứ ba sẽ trở nên đơn giản.

Bước 1: Lập các phương trình dựa trên công thức cấp số cộng.

Chúng ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

$$u_n=u_1+(n–1)d$$

Thay các giá trị đã biết vào công thức này, ta được phương trình (1):

$$44=u_1+(n–1)\cdot 3(1)$$

Tiếp theo, chúng ta có công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng:

$$S_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$$

Thay các giá trị đã biết vào công thức này, ta được phương trình (2):

$$158=\frac{n}{2}(u_1+44)(2)$$

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm $u_1$ và $n$.

Từ phương trình (1), ta biểu diễn $u_1$ theo $n$:

$$u_1=44–3(n–1)$$
u1=44–3n+3
u1=47–3n

Thay biểu thức của $u_1$ vào phương trình (2):

$$158=n2((47–3n)+44)$$

Nhân cả hai vế với 2 và rút gọn biểu thức trong ngoặc:

$$316=n(91–3n)$$

Khai triển và chuyển vế để được phương trình bậc hai:

$$316=91n–3n^2$$

$$3n^2–91n+316=0$$

Giải phương trình bậc hai này (sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử):

Tính biệt thức Delta ($\Delta$):

$$\Delta =b^2–4ac=(–91{)}^2–4\cdot 3\cdot 316$$
Δ=8281–3792
Δ=4489

Tính căn bậc hai của Delta:

$$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4489}=67$$

Tìm các nghiệm của $n$:

$$n_1=\frac{–b–\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{91–67}{2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4$$

$$n_2=\frac{–b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{91+67}{2\cdot 3}=\frac{158}{6}=\frac{79}{3}$$

Vì $n$ là số cạnh của đa giác, nên $n$ phải là một số nguyên dương. Do đó, ta chọn $n=4$.

Bây giờ, thay $n=4$ vào biểu thức của $u_1$:

$$u_1=47–3\cdot 4$$
u1=47–12
u1=35

Vậy, đa giác có 4 cạnh, và cạnh nhỏ nhất là 35 cm.

Bước 3: Tìm số đo cạnh dài thứ ba.

Số đo cạnh dài thứ ba là $u_3$. Chúng ta dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

$$u_3=u_1+(3–1)d$$
u3=u1+2d

Thay $u_1=35$ và $d=3$ vào:

$$u_3=35+2\cdot 3$$
u3=35+6
u3=41

Kiểm tra lại các cạnh của đa giác: $u_1=35$, $u_2=35+3=38$, $u_3=38+3=41$, $u_4=41+3=44$.
Tổng chu vi là $35+38+41+44=158$ cm, hoàn toàn khớp với đề bài.

Vậy, số đo cạnh dài thứ ba là 41 cm.