Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, thầy/cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh bất đẳng thức rất thú vị. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi chúng ta một chút khéo léo trong cách nhìn nhận vấn đề. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu từng bước một nhé!

Đề bài: Chứng minh rằng \( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{100^2} < 1 \)

—

Lời giải chi tiết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta không thể tính trực tiếp tổng của gần 100 phân số được. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hay trong toán học, đó là phương pháp so sánh. Chúng ta sẽ tìm một tổng khác mà các số hạng của nó lớn hơn các số hạng ban đầu, nhưng lại dễ tính toán và có giá trị nhỏ hơn 1. Nếu tổng mới này nhỏ hơn 1, thì tổng ban đầu (nhỏ hơn tổng mới) cũng chắc chắn nhỏ hơn 1.

Bước 1: Tìm cách so sánh các số hạng

Chúng ta xét một số hạng tổng quát có dạng \( \frac{1}{n^2} \), với \( n \) là các số từ 2 đến 100.

Chúng ta nhận thấy rằng:

\[ n^2 = n \times n \]

Và chúng ta có thể so sánh \( n \times n \) với tích của hai số tự nhiên liên tiếp là \( n \times (n-1) \). Với \( n > 1 \), ta luôn có \( n > n-1 \). Vậy nên:

\[ n \times n > n \times (n-1) \]

Giải thích lý do: Khi nhân một số với chính nó (\( n^2 \)), kết quả sẽ lớn hơn khi nhân số đó với một số nhỏ hơn nó (như \( n-1 \)), miễn là số đó lớn hơn 1. Ví dụ: \( 3 \times 3 = 9 \) còn \( 3 \times 2 = 6 \). Rõ ràng \( 9 > 6 \). Điều này có nghĩa là mẫu số \( n^2 \) lớn hơn mẫu số \( n(n-1) \).

Khi mẫu số lớn hơn, thì giá trị của phân số sẽ nhỏ hơn. Do đó, chúng ta có bất đẳng thức sau:

\[ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \]

Bước 2: Phân tích số hạng so sánh

Số hạng \( \frac{1}{n(n-1)} \) có một tính chất rất đặc biệt và hữu ích, đó là nó có thể được tách thành hiệu của hai phân số. Cụ thể:

\[ \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n} \]

Giải thích lý do: Đây là một kỹ thuật quen thuộc giúp chúng ta tính tổng của chuỗi phân số một cách dễ dàng. Để kiểm tra, các em có thể quy đồng mẫu số vế phải:

\[ \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n} = \frac{n}{(n-1)n} – \frac{n-1}{(n-1)n} = \frac{n – (n-1)}{n(n-1)} = \frac{n – n + 1}{n(n-1)} = \frac{1}{n(n-1)} \]

Vậy công thức trên là hoàn toàn chính xác.

Bước 3: Áp dụng vào từng số hạng của tổng

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng hai điều vừa tìm được ở trên cho từng số hạng của tổng ban đầu:

Với \( n=2 \): \( \frac{1}{2^2} < \frac{1}{2(2-1)} = \frac{1}{2 \times 1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \)

Với \( n=3 \): \( \frac{1}{3^2} < \frac{1}{3(3-1)} = \frac{1}{3 \times 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)

Với \( n=4 \): \( \frac{1}{4^2} < \frac{1}{4(4-1)} = \frac{1}{4 \times 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \)

… (và cứ tiếp tục như vậy cho đến số hạng cuối cùng)

Với \( n=100 \): \( \frac{1}{100^2} < \frac{1}{100(100-1)} = \frac{1}{100 \times 99} = \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \)

Bước 4: Cộng các bất đẳng thức lại

Gọi tổng ban đầu là \( S \). Chúng ta có:

\[ S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{100^2} \]

Từ các bất đẳng thức ở Bước 3, chúng ta có thể viết:

\[ S < \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) \]

Giải thích lý do: Chúng ta đã thay mỗi số hạng của tổng \( S \) bằng một số hạng lớn hơn nó. Khi cộng tất cả các số hạng lớn hơn lại, tổng mới này chắc chắn sẽ lớn hơn tổng \( S \).

Bước 5: Tính tổng mới

Bây giờ, chúng ta sẽ tính tổng của vế phải. Đây là một “chuỗi rút gọn” hay “chuỗi cấp số cộng lùi” (telescoping sum), các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau một cách đẹp mắt:

\[ S < 1 \cancel{- \frac{1}{2}} \cancel{+ \frac{1}{2}} \cancel{- \frac{1}{3}} \cancel{+ \frac{1}{3}} \cancel{- \frac{1}{4}} + \dots \cancel{+ \frac{1}{99}} - \frac{1}{100} \]

Sau khi triệt tiêu, chúng ta chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

\[ S < 1 - \frac{1}{100} \]

Bước 6: Kết luận

Chúng ta có \( S < 1 - \frac{1}{100} \). Mà \( 1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \). Rõ ràng, \( \frac{99}{100} \) nhỏ hơn 1.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{100^2} < 1 - \frac{1}{100} < 1 \]

Do đó, \( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{100^2} < 1 \).

Bài toán đã được chứng minh xong!

Thầy/cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải và nắm được phương pháp so sánh hiệu quả này. Hãy luyện tập thêm với các bài toán tương tự để củng cố kiến thức nhé!