Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một phần kiến thức rất quan trọng trong chương lượng giác của chương trình Toán lớp 10 mới. Chúng ta sẽ đi chứng minh các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi cho góc 2a. Các công thức này không chỉ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán phức tạp mà còn là nền tảng cho những kiến thức nâng cao hơn sau này.

Cô tin rằng với sự kiên trì và phương pháp học đúng đắn, các em sẽ nắm vững những công thức này. Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

1. Chứng minh công thức Cos 2a = cos²a – sin²a

* Bước 1: Nhớ lại công thức cộng cho cosin.
Chúng ta đã học công thức cộng cho cosin: \(\cos(x + y) = \cos x \cos y – \sin x \sin y\).
Lý do: Đây là công thức cơ bản về tổng hai góc của cosin, là tiền đề để chúng ta suy ra công thức nhân đôi.

* Bước 2: Áp dụng công thức cộng với \(x = a\) và \(y = a\).
Thay \(x = a\) và \(y = a\) vào công thức cộng, ta có:
\(\cos(a + a) = \cos a \cos a – \sin a \sin a\)

* Bước 3: Rút gọn biểu thức.
\(\cos(2a) = \cos^2 a – \sin^2 a\)
Vậy, chúng ta đã chứng minh xong công thức đầu tiên.

2. Chứng minh công thức Cos 2a = 2cos²a – 1

* Bước 1: Xuất phát từ công thức vừa chứng minh: \(\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a\).
Lý do: Chúng ta sẽ biến đổi công thức đã có để suy ra các dạng khác.

* Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\).
Từ đó, ta có: \(\sin^2 a = 1 – \cos^2 a\).
Lý do: Chúng ta muốn biểu diễn \(\cos 2a\) chỉ theo \(\cos^2 a\), nên cần thay thế phần \(\sin^2 a\).

* Bước 3: Thay \(\sin^2 a\) vào công thức \(\cos 2a\).
\(\cos 2a = \cos^2 a – (1 – \cos^2 a)\)

* Bước 4: Rút gọn biểu thức.
\(\cos 2a = \cos^2 a – 1 + \cos^2 a\)
\(\cos 2a = 2\cos^2 a – 1\)
Vậy, công thức thứ hai đã được chứng minh.

3. Chứng minh công thức Cos 2a = 1 – 2sin²a

* Bước 1: Tiếp tục xuất phát từ công thức ban đầu: \(\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a\).
Lý do: Tương tự như trên, chúng ta sẽ biến đổi để có một dạng chỉ chứa \(\sin^2 a\).

* Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\).
Từ đó, ta có: \(\cos^2 a = 1 – \sin^2 a\).
Lý do: Chúng ta muốn biểu diễn \(\cos 2a\) chỉ theo \(\sin^2 a\), nên cần thay thế phần \(\cos^2 a\).

* Bước 3: Thay \(\cos^2 a\) vào công thức \(\cos 2a\).
\(\cos 2a = (1 – \sin^2 a) – \sin^2 a\)

* Bước 4: Rút gọn biểu thức.
\(\cos 2a = 1 – \sin^2 a – \sin^2 a\)
\(\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a\)
Vậy, công thức thứ ba đã hoàn thành.

4. Chứng minh công thức Tan 2a = 2tan a / (1 – tan²a)

* Bước 1: Nhớ lại công thức cộng cho tang.
Chúng ta đã học công thức cộng cho tang: \(\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y}\).
Lý do: Tương tự như cosin, công thức cộng là nền tảng để suy ra công thức nhân đôi cho tang.

* Bước 2: Áp dụng công thức cộng với \(x = a\) và \(y = a\).
Thay \(x = a\) và \(y = a\) vào công thức cộng, ta có:
\(\tan(a + a) = \frac{\tan a + \tan a}{1 – \tan a \tan a}\)

* Bước 3: Rút gọn biểu thức.
\(\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}\)
Điều kiện: Công thức này chỉ áp dụng khi \(\tan a\) xác định, tức là \(a \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)), và mẫu số \(1 – \tan^2 a \ne 0\), tức là \(\tan^2 a \ne 1\), hay \(\tan a \ne \pm 1\), suy ra \(a \ne \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)).

Vậy là chúng ta đã cùng nhau chứng minh xong bốn công thức quan trọng của phần lượng giác. Các em hãy ghi nhớ và luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!