Chào các em, cô là giáo viên Toán của các em đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác rất hay. Bài này thuộc chương “Công thức lượng giác” của sách giáo khoa Toán lớp 10, và cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một nhé.

Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh: cos5x.cos3x + sin7x.sinx = cos2x.cos4x.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích. Đây là những công thức quan trọng mà chúng ta đã học.

Bước 1: Biến đổi vế trái của đẳng thức.
Vế trái của chúng ta là: cos5x.cos3x + sin7x.sinx

Chúng ta sẽ áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho từng số hạng:
Công thức: cosA.cosB = 1/2 * [cos(A-B) + cos(A+B)]
Áp dụng cho số hạng thứ nhất, ta có A = 5x, B = 3x:
cos5x.cos3x = 1/2 * [cos(5x – 3x) + cos(5x + 3x)]
cos5x.cos3x = 1/2 * [cos(2x) + cos(8x)] (1)

Tiếp theo, áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho số hạng thứ hai, ta có A = 7x, B = x:
Công thức: sinA.sinB = 1/2 * [cos(A-B) – cos(A+B)]
sin7x.sinx = 1/2 * [cos(7x – x) – cos(7x + x)]
sin7x.sinx = 1/2 * [cos(6x) – cos(8x)] (2)

Bây giờ, chúng ta cộng hai kết quả (1) và (2) lại để được vế trái:
Vế trái = (1/2 [cos(2x) + cos(8x)]) + (1/2 [cos(6x) – cos(8x)])
Vế trái = 1/2 cos(2x) + 1/2 cos(8x) + 1/2 cos(6x) – 1/2 cos(8x)
Quan sát, chúng ta thấy có hai số hạng đối nhau là 1/2 cos(8x) và -1/2 cos(8x). Chúng sẽ triệt tiêu nhau.
Vế trái = 1/2 cos(2x) + 1/2 cos(6x)
Vế trái = 1/2 * [cos(2x) + cos(6x)]

Bước 2: Biến đổi vế phải của đẳng thức.
Vế phải của chúng ta là: cos2x.cos4x

Ở đây, chúng ta thấy một sự khác biệt so với vế trái. Vế trái là tổng của hai cos, còn vế phải là tích của hai cos. Điều này cho thấy chúng ta có thể cần sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích ở vế phải hoặc tiếp tục biến đổi vế trái.

Hãy thử biến đổi vế trái tiếp theo để xem có ra dạng giống vế phải không.
Ta có: Vế trái = 1/2 * [cos(2x) + cos(6x)]
Chúng ta sẽ áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
Công thức: cosA + cosB = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
Áp dụng cho biểu thức trong ngoặc vuông, ta có A = 6x, B = 2x (hoặc ngược lại, kết quả không đổi):
cos(2x) + cos(6x) = 2 cos((6x + 2x)/2) cos((6x – 2x)/2)
cos(2x) + cos(6x) = 2 cos(8x/2) cos(4x/2)
cos(2x) + cos(6x) = 2 cos(4x) cos(2x)

Thay kết quả này vào biểu thức vế trái:
Vế trái = 1/2 [2 cos(4x) * cos(2x)]
Vế trái = cos(4x) * cos(2x)

Bước 3: So sánh vế trái và vế phải.
Chúng ta đã biến đổi vế trái và thu được kết quả là cos(4x).cos(2x).
Vế phải của đề bài là cos2x.cos4x.

Rõ ràng, cos(4x).cos(2x) = cos(2x).cos(4x) do tính chất giao hoán của phép nhân.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng vế trái bằng vế phải.

Các công thức đã sử dụng:
1. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosA.cosB = 1/2 * [cos(A-B) + cos(A+B)]
sinA.sinB = 1/2 * [cos(A-B) – cos(A+B)]
2. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosA + cosB = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Các em thấy đấy, chỉ cần nắm vững các công thức và áp dụng một cách cẩn thận, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán này.

Vậy, ta có:
VT = cos5x.cos3x + sin7x.sinx
VT = 1/2 [cos(5x-3x) + cos(5x+3x)] + 1/2 [cos(7x-x) – cos(7x+x)]
VT = 1/2 [cos(2x) + cos(8x)] + 1/2 [cos(6x) – cos(8x)]
VT = 1/2 cos(2x) + 1/2 cos(8x) + 1/2 cos(6x) – 1/2 cos(8x)
VT = 1/2 cos(2x) + 1/2 cos(6x)
VT = 1/2 * [cos(2x) + cos(6x)]
VT = 1/2 [2 cos((2x+6x)/2) * cos((6x-2x)/2)]
VT = 1/2 [2 cos(4x) * cos(2x)]
VT = cos(2x) * cos(4x)
VP = cos2x.cos4x

Do VT = VP nên đẳng thức được chứng minh.

Các em nhớ ôn lại các công thức này thật kỹ nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô.