Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập khá thú vị trong chương trình Toán lớp 6: chứng minh phân số tối giản. Bài tập của chúng ta ngày hôm nay là: Chứng minh rằng phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) và \(\frac{2m+3}{m+1}\) là các phân số tối giản.

Để chứng minh một phân số là tối giản, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số của phân số đó là 1.

Trước hết, chúng ta sẽ xét phân số thứ nhất: \(\frac{n+1}{2n+3}\).

Bước 1: Giả sử phân số chưa tối giản.
Giả sử phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) chưa tối giản. Điều này có nghĩa là tồn tại một ước chung \(d\) của tử số \(n+1\) và mẫu số \(2n+3\), với \(d > 1\).
Khi đó, ta có:
\(n+1\) chia hết cho \(d\). (1)
\(2n+3\) chia hết cho \(d\). (2)

Bước 2: Sử dụng tính chất chia hết để loại bỏ biến số.
Vì \(n+1\) chia hết cho \(d\), nên \(2 \times (n+1)\) cũng chia hết cho \(d\).
Ta có: \(2 \times (n+1) = 2n + 2\).
Do đó, \(2n+2\) chia hết cho \(d\). (3)

Bây giờ, chúng ta lấy biểu thức trong (2) trừ đi biểu thức trong (3):
\((2n+3) – (2n+2)\) chia hết cho \(d\).
\(2n+3 – 2n – 2\) chia hết cho \(d\).
\(1\) chia hết cho \(d\).

Bước 3: Kết luận.
Từ \(1\) chia hết cho \(d\), và vì \(d\) là ước chung của \(n+1\) và \(2n+3\), nên \(d\) phải là một số nguyên dương. Số nguyên dương duy nhất chia hết cho 1 là 1.
Vậy, \(d=1\).
Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu của chúng ta là \(d > 1\).
Do đó, giả sử ban đầu là sai. Phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) là một phân số tối giản với mọi số nguyên \(n\) sao cho mẫu số khác 0.

—

Tiếp theo, chúng ta sẽ xét phân số thứ hai: \(\frac{2m+3}{m+1}\).

Bước 1: Giả sử phân số chưa tối giản.
Giả sử phân số \(\frac{2m+3}{m+1}\) chưa tối giản. Điều này có nghĩa là tồn tại một ước chung \(k\) của tử số \(2m+3\) và mẫu số \(m+1\), với \(k > 1\).
Khi đó, ta có:
\(2m+3\) chia hết cho \(k\). (4)
\(m+1\) chia hết cho \(k\). (5)

Bước 2: Sử dụng tính chất chia hết để loại bỏ biến số.
Vì \(m+1\) chia hết cho \(k\), nên \(2 \times (m+1)\) cũng chia hết cho \(k\).
Ta có: \(2 \times (m+1) = 2m + 2\).
Do đó, \(2m+2\) chia hết cho \(k\). (6)

Bây giờ, chúng ta lấy biểu thức trong (4) trừ đi biểu thức trong (6):
\((2m+3) – (2m+2)\) chia hết cho \(k\).
\(2m+3 – 2m – 2\) chia hết cho \(k\).
\(1\) chia hết cho \(k\).

Bước 3: Kết luận.
Từ \(1\) chia hết cho \(k\), và vì \(k\) là ước chung của \(2m+3\) và \(m+1\), nên \(k\) phải là một số nguyên dương. Số nguyên dương duy nhất chia hết cho 1 là 1.
Vậy, \(k=1\).
Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu của chúng ta là \(k > 1\).
Do đó, giả sử ban đầu là sai. Phân số \(\frac{2m+3}{m+1}\) là một phân số tối giản với mọi số nguyên \(m\) sao cho mẫu số khác 0.

—

Các em thấy đó, để chứng minh một phân số là tối giản, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của tử và mẫu là 1. Phương pháp chung là giả sử phân số chưa tối giản, sau đó dùng các tính chất của phép chia hết để biến đổi, loại bỏ biến số và đi đến kết luận cuối cùng.

Các em về nhà luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô!