Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay về phép chia hết, sử dụng kiến thức về đồng dư thức mà chúng ta đã học trong chương trình lớp 12. Đây là một dạng toán quen thuộc trong các kỳ thi, giúp các em rèn luyện tư duy logic và kỹ năng biến đổi.

Để chứng minh \( 2^{70} – 3^{70} \) chia hết cho 13, chúng ta cần chứng minh rằng \( 2^{70} \) và \( 3^{70} \) có cùng số dư khi chia cho 13. Nói cách khác theo ngôn ngữ đồng dư thức, ta sẽ đi chứng minh:

\[ 2^{70} \equiv 3^{70} \pmod{13} \]

Tuy nhiên, trong quá trình giải, chúng ta sẽ xem xét các số dư một cách độc lập trước.

Bước 1: Tìm số dư của \( 2^{70} \) khi chia cho 13.

Ta sẽ tìm một lũy thừa của 2 có số dư là 1 hoặc -1 khi chia cho 13 để việc tính toán trở nên đơn giản hơn.

Ta có:

\( 2^2 = 4 \)
\( 2^3 = 8 \)
\( 2^4 = 16 \equiv 3 \pmod{13} \)
\( 2^5 = 32 \equiv 6 \pmod{13} \)
\( 2^6 = 64 = 13 \times 4 + 12 \). Vậy \( 2^6 \equiv 12 \equiv -1 \pmod{13} \).

Đây là một kết quả rất tốt! Bây giờ ta sẽ sử dụng nó để tính \( 2^{70} \).

Ta phân tích số mũ 70 theo 6: \( 70 = 6 \times 11 + 4 \).

Khi đó:
\[ 2^{70} = 2^{6 \times 11 + 4} = (2^6)^{11} \cdot 2^4 \]

Chuyển sang đồng dư thức, ta có:
\[ 2^{70} \equiv (-1)^{11} \cdot 2^4 \pmod{13} \]

Ta tính tiếp:

\( (-1)^{11} = -1 \)
\( 2^4 = 16 \equiv 3 \pmod{13} \)

Thay vào, ta được:
\[ 2^{70} \equiv -1 \cdot 3 \equiv -3 \pmod{13} \quad (1) \]

Bước 2: Tìm số dư của \( 3^{70} \) khi chia cho 13.

Tương tự, ta tìm một lũy thừa của 3 có số dư là 1 hoặc -1 khi chia cho 13.

Ta có:

\( 3^2 = 9 \)
\( 3^3 = 27 = 13 \times 2 + 1 \). Vậy \( 3^3 \equiv 1 \pmod{13} \).

Kết quả này còn tốt hơn cả ở trên! Bây giờ ta sẽ dùng nó để tính \( 3^{70} \).

Ta phân tích số mũ 70 theo 3: \( 70 = 3 \times 23 + 1 \).

Khi đó:
\[ 3^{70} = 3^{3 \times 23 + 1} = (3^3)^{23} \cdot 3^1 \]

Chuyển sang đồng dư thức, ta có:
\[ 3^{70} \equiv 1^{23} \cdot 3^1 \pmod{13} \]

Suy ra:
\[ 3^{70} \equiv 3 \pmod{13} \quad (2) \]

Bước 3: Kết luận.

Từ (1) và (2), ta xét hiệu \( 2^{70} – 3^{70} \):
\[ 2^{70} – 3^{70} \equiv (-3) – 3 \pmod{13} \]
\[ 2^{70} – 3^{70} \equiv -6 \pmod{13} \]

Kết quả \( -6 \pmod{13} \) có nghĩa là \( 2^{70} – 3^{70} \) chia cho 13 dư -6 (hay dư 7), chứ không chia hết cho 13.

Lưu ý quan trọng từ giáo viên:

Đến đây, chúng ta có thể thấy rằng đề bài ban đầu có thể đã có một sự nhầm lẫn. Trong toán học, việc phát hiện ra một mệnh đề không đúng cũng quan trọng như việc chứng minh một mệnh đề đúng. Dựa trên kết quả tính toán của chúng ta, bài toán “Chứng minh \( 2^{70} – 3^{70} \) chia hết cho 13” là một mệnh đề SAI.

Tuy nhiên, với các dạng bài tập này, đề bài rất có thể là chứng minh \( 2^{70} + 3^{70} \) chia hết cho 13. Thầy sẽ chứng minh mệnh đề này để các em thấy được vẻ đẹp của bài toán.

Giải bài toán (đã điều chỉnh): Chứng minh rằng \( 2^{70} + 3^{70} \) chia hết cho 13.

Ta sử dụng lại hoàn toàn các kết quả từ Bước 1 và Bước 2:

– \( 2^{70} \equiv -3 \pmod{13} \)

– \( 3^{70} \equiv 3 \pmod{13} \)

Khi đó, ta xét tổng:
\[ 2^{70} + 3^{70} \equiv (-3) + 3 \pmod{13} \]
\[ 2^{70} + 3^{70} \equiv 0 \pmod{13} \]

Kết quả \( \equiv 0 \pmod{13} \) có nghĩa là \( 2^{70} + 3^{70} \) chia hết cho 13.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( 2^{70} + 3^{70} \) chia hết cho 13.

Qua bài tập này, các em cần rút ra kinh nghiệm rằng phải luôn cẩn thận trong tính toán và phân tích đề bài. Đôi khi, đề bài có thể chứa những điểm chưa chính xác và việc của chúng ta là phải tìm ra nó.

Chúc các em học tốt