Hàm số bậc 3 có thể có bao nhiêu điểm cực trị ? (giải thích chi tiết)
A. 0 hoặc …
A. 0 hoặc 1 hoặc 2
B. 1 hoặc 2
C. 0 hoặc 2
D. 0 hoặc 1
Bước 1: Xét dạng tổng quát và đạo hàm của hàm số bậc ba
Một hàm số bậc ba bất kỳ sẽ có dạng tổng quát là: \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), với điều kiện bắt buộc là hệ số \(a \neq 0\).
Để tìm các điểm cực trị của một hàm số, phương pháp cơ bản chúng ta được học là tìm đạo hàm bậc nhất của nó và xét dấu.
Lý do: Điểm cực trị của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 (hoặc không xác định) và đạo hàm phải đổi dấu khi đi qua điểm đó. Đối với hàm đa thức như hàm bậc ba, đạo hàm của nó luôn xác định trên tập số thực.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng tính đạo hàm \(y’\) của hàm số trên:
\[ y’ = 3ax^2 + 2bx + c \]
Các em có thể thấy, \(y’\) là một tam thức bậc hai với hệ số của \(x^2\) là \(3a \neq 0\).
Bước 2: Biện luận số điểm cực trị dựa vào số nghiệm của phương trình y’ = 0
Số điểm cực trị của hàm số bậc ba chính là số lần \(y’\) đổi dấu. Điều này lại phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc hai \(y’ = 0\). Số nghiệm của một phương trình bậc hai thì phụ thuộc vào biệt thức Delta (\(\Delta\)) của nó.
Ta xét biệt thức \(\Delta\) của phương trình \(y’ = 0\):
\[ \Delta = (2b)^2 – 4(3a)(c) = 4b^2 – 12ac \]
Chúng ta sẽ có 3 trường hợp xảy ra:
-
Trường hợp 1: \(\Delta > 0\)
Khi \(\Delta > 0\), phương trình \(y’ = 0\) sẽ có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Theo quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai, \(y’\) sẽ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm này.
Do đó, hàm số ban đầu sẽ có hai điểm cực trị (một điểm cực đại và một điểm cực tiểu). -
Trường hợp 2: \(\Delta = 0\)
Khi \(\Delta = 0\), phương trình \(y’ = 0\) có một nghiệm kép. Tại nghiệm kép này, tam thức bậc hai \(y’\) không đổi dấu (đồ thị của \(y’\) tiếp xúc với trục hoành).
Vì đạo hàm không đổi dấu, nên hàm số ban đầu không có điểm cực trị nào. -
Trường hợp 3: \(\Delta < 0\)
Khi \(\Delta < 0\), phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm. Điều này có nghĩa là dấu của \(y'\) không bao giờ thay đổi (luôn dương hoặc luôn âm trên toàn bộ tập số thực).
Vì đạo hàm không đổi dấu, nên hàm số ban đầu cũng không có điểm cực trị nào.
Bước 3: Tổng kết và chọn đáp án
Từ việc phân tích cả ba trường hợp trên, chúng ta rút ra kết luận:
Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2 điểm cực trị hoặc 0 điểm cực trị.
Bây giờ, chúng ta đối chiếu kết luận này với các phương án lựa chọn:
A. 0 hoặc 1 hoặc 2 (Sai, vì không thể có 1 điểm cực trị)
B. 1 hoặc 2 (Sai, vì không thể có 1 và thiếu trường hợp 0)
C. 0 hoặc 2 (Chính xác)
D. 0 hoặc 1 (Sai, vì không thể có 1)
Vậy, đáp án cuối cùng là C.
Lưu ý quan trọng cho các em: Một mẹo nhỏ để nhớ là hàm số bậc ba không bao giờ có 1 điểm cực trị. Nó chỉ có thể có hai (khi đồ thị có dạng “uốn lượn” lên xuống) hoặc không có cực trị nào (khi đồ thị luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến). Ghi nhớ điều này sẽ giúp các em giải nhanh các bài toán trắc nghiệm sau này.
Chúc các em học tốt
Đáp án: C.0 hoặc 2
Xét đạo hàm cấp 1:
y’=3ax²+2bx+c
Đây là phương trình bậc 2
-Nếu phương trình đạo hàm có 2 nghiệm phân biệt→có 2 điểm cực trị
-Nếu phương trình đạo hàm có nghiệm kép→không phải là cực trị
-Nếu phương trình đạo hàm vô nghiệm thực→0 điểm cực trị
Vậy hàm số bậc 3 có thể có 0 hoặc 2 điểm cực trị
Đáp án: \(+\) Giải thích các bước giải:
\(=> C.0\) hoặc \(2\)
\(->f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a\ne0)\)
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là:\(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)
Phương trình \( f'(x) = 0 \) là một phương trình bậc hai:
\(3ax^2 + 2bx + c = 0\)
\(\Delta’ = b^2 – 3ac\)
Trường hợp \(1:\) \( \Delta’ > 0 \)
\(->\) Phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt.
\(=>\) Khi đó, hàm số có hai điểm cực trị.
Trường hợp \(2:\) \( \Delta’ = 0 \)
\(->\) Phương trình \( f'(x) = 0 \) có một nghiệm kép.
\(=>\) Đạo hàm không đổi dấu khi đi qua nghiệm, nên hàm số không có điểm cực trị/
Trường hợp \(3:\) \( \Delta’ < 0 \)
\(->\) Phương trình \( f'(x) = 0 \) vô nghiệm.
\(=>\) Do đó, hàm số không có điểm cực trị.