Chào các em, đây là một bài toán tìm số nguyên rất thú vị, đòi hỏi chúng ta phải quan sát và biến đổi một cách khéo léo. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài này một cách chi tiết, từng bước một nhé.

Các em hãy cùng thầy phân tích bài toán. Chúng ta có hai phương trình và cần tìm ba số nguyên dương a, b, c.
Phương trình thứ nhất: \(a^3+3a^2+5=5^b\) (1)
Phương trình thứ hai: \(a+3=5^c\) (2)

Bước 1: Tìm cách liên kết hai phương trình
Các em hãy để ý, phương trình (2) cho chúng ta một mối liên hệ rất gọn là \(a+3=5^c\). Nhìn sang phương trình (1), các em có thấy biểu thức nào quen thuộc không? À, chúng ta thấy có \(a^3+3a^2\).
Ta có thể rút nhân tử chung ra ngoài: \(a^3+3a^2 = a^2(a+3)\).
Thật tuyệt vời! Biểu thức \(a+3\) đã xuất hiện. Bây giờ chúng ta sẽ viết lại phương trình (1) nhé.
Từ \(a^3+3a^2+5=5^b\), ta có:
\(a^2(a+3)+5=5^b\) (3)

Bước 2: Sử dụng phương pháp thế
Bây giờ, chúng ta sẽ thế phương trình (2) vào phương trình (3) vừa biến đổi.
Chỗ nào có \(a+3\), ta sẽ thay bằng \(5^c\).
Phương trình (3) trở thành:
\(a^2 \cdot 5^c + 5 = 5^b\)

Bước 3: Biến đổi và phân tích phương trình mới
Ta có phương trình: \(a^2 \cdot 5^c + 5 = 5^b\).
Các em thấy rằng cả ba số hạng trong phương trình này đều có liên quan đến số 5. Vì a, b, c là các số nguyên dương nên \(b \geq 1\) và \(c \geq 1\). Điều này có nghĩa là \(5^b\), \(5^c\) và 5 đều chia hết cho 5.
Chúng ta hãy chia cả hai vế của phương trình cho 5 (với điều kiện b>1 và c>=1):
\(a^2 \cdot 5^{c-1} + 1 = 5^{b-1}\) (4)
Từ đây, chúng ta sẽ xét hai trường hợp của c.

Trường hợp 1: c = 1
Nếu \(c=1\), ta thay vào phương trình (2):
\(a+3 = 5^1\)
\(a+3 = 5\)
\(a = 2\)
Vì a là số nguyên dương nên \(a=2\) thỏa mãn.
Bây giờ, ta thay \(c=1\) và \(a=2\) vào phương trình (4) để tìm b:
\(2^2 \cdot 5^{1-1} + 1 = 5^{b-1}\)
\(4 \cdot 5^0 + 1 = 5^{b-1}\)
Các em nhớ lại kiến thức lũy thừa nhé: \(x^0 = 1\) với \(x \neq 0\).
\(4 \cdot 1 + 1 = 5^{b-1}\)
\(5 = 5^{b-1}\)
Vì cơ số bằng nhau nên số mũ cũng phải bằng nhau:
\(1 = b-1\)
\(b = 2\)
Vì b là số nguyên dương nên \(b=2\) thỏa mãn.
Vậy, chúng ta đã tìm được một bộ số là (a, b, c) = (2, 2, 1).

Để chắc chắn, chúng ta hãy thử lại vào hai phương trình ban đầu:
Với (1): \(2^3+3 \cdot 2^2+5 = 8 + 3 \cdot 4 + 5 = 8+12+5 = 25\). Và \(5^b = 5^2 = 25\). Đúng!
Với (2): \(2+3 = 5\). Và \(5^c = 5^1 = 5\). Đúng!

Trường hợp 2: c > 1
Vì c là số nguyên dương nên nếu \(c > 1\) thì \(c \geq 2\).
Khi đó, \(c-1 \geq 1\).
Chúng ta quay lại phương trình (4): \(a^2 \cdot 5^{c-1} + 1 = 5^{b-1}\).
Ta có thể viết lại là: \(1 = 5^{b-1} – a^2 \cdot 5^{c-1}\).
Vì \(c \geq 2\) nên \(c-1 \geq 1\). Ta cũng có thể suy ra \(b>c\) (từ phương trình (4), \(5^{b-1}\) lớn hơn \(5^{c-1}\)), nên \(b-1 > c-1 \geq 1\).
Do đó, cả hai số hạng \(5^{b-1}\) và \(a^2 \cdot 5^{c-1}\) đều chia hết cho 5.
Suy ra, hiệu của chúng \(5^{b-1} – a^2 \cdot 5^{c-1}\) cũng phải chia hết cho 5.
Nhưng vế trái của phương trình lại là 1, một số không chia hết cho 5.
Vế trái không chia hết cho 5, trong khi vế phải lại chia hết cho 5. Đây là một điều vô lý!
Do đó, trường hợp \(c > 1\) không thể xảy ra.

Kết luận
Qua hai trường hợp trên, chúng ta thấy rằng chỉ có một bộ số nguyên dương (a, b, c) duy nhất thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy các số cần tìm là:
\[a=2, b=2, c=1\]