Chào các em học sinh thân mến! Thầy là giáo viên bộ môn Toán. Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập về chứng minh đẳng thức lượng giác, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta.

Để chứng minh một đẳng thức, chúng ta thường biến đổi một vế (thường là vế phức tạp hơn) về vế còn lại. Với bài toán này, vế trái có bậc cao hơn, nên chúng ta sẽ bắt đầu từ vế trái.

Chúng ta cần chứng minh:
\(sin^{8}x\) + \(cos^{8}x\) = 1 – \(4sin^{2}x\).\(cos^{2}x\) + 2\(sin^{4}x\).\(cos^{4}x\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ bắt đầu biến đổi vế trái (VT) của đẳng thức.

VT = \(sin^{8}x\) + \(cos^{8}x\)

Để xử lý tổng của hai lũy thừa bậc 8, chúng ta có thể coi \(sin^{8}x\) là \((sin^{4}x)^2\) và \(cos^{8}x\) là \((cos^{4}x)^2\).

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab\), với \(a = sin^4x\) và \(b = cos^4x\), ta có:

VT = \((sin^{4}x + cos^{4}x)^2 – 2sin^{4}x.cos^{4}x\) (1)

Bây giờ, chúng ta cần tìm cách đơn giản hóa biểu thức \(sin^{4}x + cos^{4}x\).

Tương tự, chúng ta có thể viết \(sin^{4}x\) là \((sin^{2}x)^2\) và \(cos^{4}x\) là \((cos^{2}x)^2\).

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab\), với \(a = sin^2x\) và \(b = cos^2x\), ta có:

\(sin^{4}x + cos^{4}x\) = \((sin^{2}x + cos^{2}x)^2 – 2sin^{2}x.cos^{2}x\)

Chúng ta đã biết công thức lượng giác cơ bản: \(sin^{2}x + cos^{2}x = 1\).

Thay giá trị này vào biểu thức trên:

\(sin^{4}x + cos^{4}x\) = \((1)^2 – 2sin^{2}x.cos^{2}x\)

\(sin^{4}x + cos^{4}x\) = \(1 – 2sin^{2}x.cos^{2}x\) (2)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức (2) vào biểu thức (1):

VT = \((1 – 2sin^{2}x.cos^{2}x)^2 – 2sin^{4}x.cos^{4}x\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ khai triển \((1 – 2sin^{2}x.cos^{2}x)^2\) theo hằng đẳng thức \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\), với \(A = 1\) và \(B = 2sin^2x.cos^2x\):

VT = \((1)^2 – 2.(1).(2sin^{2}x.cos^{2}x) + (2sin^{2}x.cos^{2}x)^2 – 2sin^{4}x.cos^{4}x\)

VT = \(1 – 4sin^{2}x.cos^{2}x + 4sin^{4}x.cos^{4}x – 2sin^{4}x.cos^{4}x\)

Cuối cùng, chúng ta sẽ nhóm các số hạng đồng dạng:

VT = \(1 – 4sin^{2}x.cos^{2}x + (4sin^{4}x.cos^{4}x – 2sin^{4}x.cos^{4}x)\)

VT = \(1 – 4sin^{2}x.cos^{2}x + 2sin^{4}x.cos^{4}x\)

Biểu thức cuối cùng này chính là vế phải (VP) của đẳng thức mà đề bài yêu cầu chứng minh.

Vậy, VT = VP.

Kết luận:
Đẳng thức \(sin^{8}x\) + \(cos^{8}x\) = 1 – \(4sin^{2}x\).\(cos^{2}x\) + 2\(sin^{4}x\).\(cos^{4}x\) đã được chứng minh.

Qua bài tập này, các em thấy rằng việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và các công thức lượng giác cơ bản là chìa khóa để giải quyết các bài toán chứng minh phức tạp. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kỹ năng này nhé! Chúc các em học tốt!