Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh một công thức lượng giác rất cơ bản và quan trọng, đó là mối quan hệ giữa tang của một góc và sin, cos của góc đó. Công thức này sẽ là nền tảng giúp các em giải quyết nhiều bài tập thú vị về sau.

Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh đẳng thức: \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\).

Để chứng minh được công thức này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa của các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Đây là kiến thức trọng tâm mà chúng ta đã được học.

Bước 1: Nhắc lại các định nghĩa tỉ số lượng giác

Hãy xét một tam giác vuông ABC, vuông tại A. Giả sử góc C là góc nhọn \(\alpha\) (hoặc x).

Trong tam giác vuông ABC:

• Cạnh đối của góc x là cạnh AB.
• Cạnh kề của góc x là cạnh AC.
• Cạnh huyền là cạnh BC.

Khi đó, ta có các định nghĩa sau:

1. Sin của góc x (Sin đối/huyền):

\[ \sin x = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} \]

(Giải thích: Tỉ số giữa cạnh đối của góc x và cạnh huyền.)

2. Cos của góc x (Cos kề/huyền):

\[ \cos x = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} \]

(Giải thích: Tỉ số giữa cạnh kề của góc x và cạnh huyền.)

3. Tan của góc x (Tan đối/kề):

\[ \tan x = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AB}{AC} \]

(Giải thích: Tỉ số giữa cạnh đối của góc x và cạnh kề của góc x.)

Các em có thể nhớ mẹo “Sin đi học (Đối/Huyền), Cos không hư (Kề/Huyền), Tan đoàn kết (Đối/Kề)” để dễ dàng thuộc các định nghĩa này nhé!

Bước 2: Bắt đầu chứng minh đẳng thức

Để chứng minh đẳng thức \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), chúng ta thường bắt đầu từ một vế (thường là vế phức tạp hơn) và biến đổi nó sao cho bằng vế còn lại. Ở đây, vế phải của đẳng thức là \(\frac{\sin x}{\cos x}\) trông có vẻ phức tạp hơn, nên chúng ta sẽ bắt đầu từ vế này.

Ta có vế phải:

\[ \frac{\sin x}{\cos x} \]

Bước 3: Thay thế các định nghĩa vào biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \(\sin x\) và \(\cos x\) bằng các định nghĩa mà chúng ta đã ôn tập ở Bước 1:

\[ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}}{\frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}} \]

(Giải thích: Chúng ta đang thay thế mỗi tỉ số lượng giác bằng định nghĩa của nó để đưa biểu thức về dạng các tỉ số độ dài cạnh trong tam giác vuông.)

Bước 4: Rút gọn biểu thức phân số

Biểu thức trên là một phép chia hai phân số. Để thực hiện phép chia này, chúng ta sẽ giữ nguyên phân số thứ nhất và nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai. Hoặc một cách đơn giản hơn, các em có thể thấy rằng cả tử số và mẫu số của phân số lớn đều có chung yếu tố “cạnh huyền”, nên chúng ta có thể rút gọn yếu tố này.

\[ \frac{\frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}}{\frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}} = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} \cdot \frac{\text{cạnh huyền}}{\text{cạnh kề}} \]

(Giải thích: Để chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai. Hoặc coi như ta đang rút gọn “cạnh huyền” ở cả tử và mẫu.)

Khi rút gọn “cạnh huyền”, ta được:

\[ = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} \]

Bước 5: So sánh kết quả với định nghĩa của \(\tan x\)

Các em hãy nhìn lại định nghĩa của \(\tan x\) ở Bước 1. Chúng ta thấy rằng \(\frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}\) chính là định nghĩa của \(\tan x\).

\[ \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \tan x \]

(Giải thích: Kết quả sau khi biến đổi vế phải hoàn toàn trùng khớp với định nghĩa của \(\tan x\).)

Kết luận:

Như vậy, chúng ta đã biến đổi vế phải \(\frac{\sin x}{\cos x}\) thành vế trái \(\tan x\). Điều đó chứng tỏ đẳng thức là đúng:

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

Lưu ý quan trọng về điều kiện:

Để biểu thức \(\frac{\sin x}{\cos x}\) có nghĩa, mẫu số \(\cos x\) phải khác 0. Trong chương trình Toán lớp 9, chúng ta chủ yếu xét các góc nhọn trong tam giác vuông (tức là góc x nằm trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(90^\circ\)). Với các góc nhọn, giá trị của \(\cos x\) luôn dương và khác 0. Do đó, trong phạm vi kiến thức lớp 9, công thức này luôn đúng và các em có thể yên tâm sử dụng.

Khi lên lớp 10, các em sẽ được tìm hiểu sâu hơn về tỉ số lượng giác của các góc bất kỳ và điều kiện \(\cos x \neq 0\) sẽ được mở rộng hơn.

Công thức này rất quan trọng, các em hãy ghi nhớ và luyện tập vận dụng nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô hoặc bạn bè!