Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 10. Đẳng thức này giúp chúng ta biểu diễn cosin của góc bội ba theo cosin của góc đơn, và nó có nhiều ứng dụng sau này.

Đề bài: Chứng minh rằng:

\[
\cos 3a = 4 \cos^3 a – 3 \cos a
\]

Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức này bằng cách biến đổi vế trái (LHS – Left Hand Side) thành vế phải (RHS – Right Hand Side). Đây là phương pháp phổ biến và thường hiệu quả khi một vế phức tạp hơn.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích góc \(3a\) thành tổng của các góc.

Để có thể sử dụng các công thức lượng giác đã học, chúng ta sẽ biến đổi góc \(3a\) thành tổng của hai góc là \(2a\) và \(a\).

Ta có:

\[
\cos 3a = \cos (2a + a)
\]

Giải thích: Việc phân tích như vậy giúp chúng ta áp dụng công thức cộng của cosin, đưa bài toán về các biểu thức có góc \(2a\) và \(a\).

Bước 2: Áp dụng công thức cộng của cosin.

Nhắc lại công thức cộng của cosin: \( \cos(A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B \).

Áp dụng công thức này với \(A = 2a\) và \(B = a\), ta được:

\[
\cos (2a + a) = \cos 2a \cos a – \sin 2a \sin a
\]

Giải thích: Đây là bước cơ bản để “mở rộng” biểu thức \( \cos 3a \) thành các thành phần dễ xử lý hơn.

Bước 3: Thay thế các công thức góc kép (\(2a\)).

Để biểu thức cuối cùng chỉ còn chứa \( \cos a \), chúng ta cần biến đổi \( \cos 2a \) và \( \sin 2a \) theo \( \cos a \) và \( \sin a \).

Chúng ta có các công thức góc kép sau:

• \( \cos 2a = 2 \cos^2 a – 1 \) (Công thức này rất hữu ích vì nó biểu diễn \( \cos 2a \) hoàn toàn theo \( \cos a \)).
• \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \)

Thay các công thức này vào biểu thức ở Bước 2, ta được:

\[
(2 \cos^2 a – 1) \cos a – (2 \sin a \cos a) \sin a
\]

Giải thích: Việc lựa chọn công thức \( \cos 2a = 2 \cos^2 a – 1 \) là chiến lược, vì mục tiêu cuối cùng của chúng ta là một biểu thức chỉ chứa \( \cos a \). Công thức \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \) cũng là bắt buộc để đưa \( \sin 2a \) về dạng cơ bản.

Bước 4: Rút gọn và biến đổi biểu thức.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân và rút gọn:

\[
2 \cos^3 a – \cos a – 2 \sin^2 a \cos a
\]

Giải thích: Đây là bước mở ngoặc đơn giản trong đại số.

Bước 5: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản để loại bỏ \( \sin^2 a \).

Chúng ta thấy trong biểu thức vẫn còn \( \sin^2 a \). Để đưa tất cả về \( \cos a \), chúng ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Từ đó, suy ra:

\[
\sin^2 a = 1 – \cos^2 a
\]

Thay thế \( \sin^2 a \) vào biểu thức ở Bước 4, ta được:

\[
2 \cos^3 a – \cos a – 2 (1 – \cos^2 a) \cos a
\]

Giải thích: Đây là một bước then chốt để đảm bảo toàn bộ biểu thức cuối cùng chỉ phụ thuộc vào \( \cos a \).

Bước 6: Mở ngoặc và thu gọn các số hạng đồng dạng.

Tiếp tục thực hiện phép nhân và thu gọn:

\[
2 \cos^3 a – \cos a – (2 \cos a – 2 \cos^3 a)
\]
\[
2 \cos^3 a – \cos a – 2 \cos a + 2 \cos^3 a
\]

Bây giờ, chúng ta nhóm các số hạng đồng dạng lại:

\[
(2 \cos^3 a + 2 \cos^3 a) + (-\cos a – 2 \cos a)
\]
\[
4 \cos^3 a – 3 \cos a
\]

Giải thích: Đây là bước cuối cùng của việc rút gọn đại số để đạt được dạng mong muốn.

Kết luận:

Chúng ta đã biến đổi vế trái \( \cos 3a \) thành \( 4 \cos^3 a – 3 \cos a \), chính bằng vế phải (RHS).

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh:

\[
\cos 3a = 4 \cos^3 a – 3 \cos a
\]

Chúc các em học tốt và nắm vững các công thức lượng giác này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô.