Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn biểu thức, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Để làm tốt dạng bài này, các em cần nắm vững quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn và biết cách phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn nhé.

Trước hết, thầy muốn nhắc lại một quy tắc quan trọng:
Để đưa một thừa số \(A\) vào trong dấu căn bậc hai của một biểu thức \(B\) (với \(B >= 0\)), chúng ta cần xem xét dấu của \(A\):

• Nếu \(A \ge 0\), thì \(A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 B}\).
• Nếu \(A < 0\), thì \(A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc này để giải từng bài nhé!

— Bài giải —

Bài 1: Rút gọn biểu thức \(A = (2-a) \sqrt{\frac{2a}{a-2}}\) với điều kiện \(a > 2\).

Bước 1: Phân tích điều kiện của nhân tử nằm ngoài dấu căn.

Ta có nhân tử ngoài dấu căn là \((2-a)\).
Với điều kiện đề bài cho là \(a > 2\), ta suy ra:
\(2 – a < 0\) (vì khi \(a\) lớn hơn 2, ví dụ \(a=3\), thì \(2-3 = -1\), là một số âm).

Bước 2: Áp dụng quy tắc đưa nhân tử vào trong dấu căn.

Vì nhân tử \((2-a)\) là một số âm, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc \(A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}\).
Khi đó, \((2-a)\) sẽ được đưa vào trong dấu căn dưới dạng \((2-a)^2\), và chúng ta phải đặt dấu trừ ở phía trước dấu căn.

Ta có:
\[A = (2-a) \sqrt{\frac{2a}{a-2}}\]
\[A = -\sqrt{(2-a)^2 \cdot \frac{2a}{a-2}}\]

Bước 3: Rút gọn biểu thức bên trong dấu căn.

Chúng ta biết rằng \((2-a)^2 = (-(a-2))^2 = (a-2)^2\).
Thay thế vào biểu thức:
\[A = -\sqrt{(a-2)^2 \cdot \frac{2a}{a-2}}\]

Vì \(a > 2\), nên \(a-2 \neq 0\). Do đó, chúng ta có thể rút gọn \((a-2)^2\) với \((a-2)\) ở mẫu số.
\[A = -\sqrt{\frac{(a-2)^2 \cdot 2a}{a-2}}\]
\[A = -\sqrt{(a-2) \cdot 2a}\]

Bước 4: Viết kết quả cuối cùng.

Sắp xếp lại các nhân tử trong căn cho gọn gàng:
\[A = -\sqrt{2a(a-2)}\]

Vậy, biểu thức đã được rút gọn là \(A = -\sqrt{2a(a-2)}\).

Bài 2: Rút gọn biểu thức \(B = (x-5) \sqrt{\frac{x}{25-x^2}}\) với điều kiện \(0 < x < 5\).

Bước 1: Phân tích điều kiện của nhân tử nằm ngoài dấu căn.

Ta có nhân tử ngoài dấu căn là \((x-5)\).
Với điều kiện đề bài cho là \(0 < x < 5\), ta suy ra: \(x - 5 < 0\) (vì \(x\) nhỏ hơn 5, ví dụ \(x=3\), thì \(3-5 = -2\), là một số âm).

Bước 2: Áp dụng quy tắc đưa nhân tử vào trong dấu căn.

Tương tự như Bài 1, vì nhân tử \((x-5)\) là một số âm, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc \(A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}\).
Khi đó, \((x-5)\) sẽ được đưa vào trong dấu căn dưới dạng \((x-5)^2\), và chúng ta phải đặt dấu trừ ở phía trước dấu căn.

Ta có:
\[B = (x-5) \sqrt{\frac{x}{25-x^2}}\]
\[B = -\sqrt{(x-5)^2 \cdot \frac{x}{25-x^2}}\]

Bước 3: Rút gọn biểu thức bên trong dấu căn.

Chúng ta biết rằng \((x-5)^2 = (-(5-x))^2 = (5-x)^2\).
Đồng thời, mẫu số \(25-x^2\) là hằng đẳng thức đáng nhớ “hiệu hai bình phương”, có thể phân tích thành \((5-x)(5+x)\).
Thay thế vào biểu thức:
\[B = -\sqrt{(5-x)^2 \cdot \frac{x}{(5-x)(5+x)}}\]

Vì \(0 < x < 5\), nên \(x \neq 5\), do đó \(5-x \neq 0\). Chúng ta có thể rút gọn \((5-x)^2\) với \((5-x)\) ở mẫu số. \[B = -\sqrt{\frac{(5-x)^2 \cdot x}{(5-x)(5+x)}}\] \[B = -\sqrt{\frac{x(5-x)}{5+x}}\]

Bước 4: Viết kết quả cuối cùng.

Vậy, biểu thức đã được rút gọn là \(B = -\sqrt{\frac{x(5-x)}{5+x}}\).

Qua hai bài tập này, các em thấy rằng việc xác định dấu của nhân tử nằm ngoài dấu căn là cực kỳ quan trọng để áp dụng đúng công thức. Ngoài ra, việc thành thạo các hằng đẳng thức và kỹ năng rút gọn phân thức cũng giúp ích rất nhiều trong quá trình làm bài. Hãy luyện tập thêm để nắm vững dạng bài này nhé!

Chúc các em học tốt!