Chào các em học sinh yêu quý! Thầy rất vui khi được hướng dẫn các em giải bài tập này. Đây là một bài toán cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng trong phần lượng giác, giúp các em nắm vững các công thức biến đổi. Chúng ta cùng bắt tay vào giải nhé!

Mục tiêu của chúng ta là chứng minh đẳng thức:
\[ \sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \]

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ xuất phát từ vế trái (VT) và biến đổi nó thành vế phải (VP), hoặc ngược lại. Ở đây, thầy sẽ chọn biến đổi vế trái, bằng cách sử dụng một công thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhắc lại công thức cộng cho sin

Các em còn nhớ công thức cộng cho hàm sin không? Đây là một trong những công thức nền tảng của lượng giác. Công thức đó là:

\[ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \]

Giải thích: Công thức này cho phép chúng ta tính sin của tổng hai góc nếu chúng ta biết sin và cos của từng góc riêng lẻ. Nó rất hữu ích khi chúng ta muốn “tách” một góc lớn thành tổng của hai góc nhỏ hơn hoặc ngược lại.

Bước 2: Biến đổi góc A thành tổng của hai góc bằng nhau

Ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh, chúng ta có góc \( A \). Chúng ta có thể viết góc \( A \) dưới dạng tổng của hai góc bằng nhau, đó là:

\[ A = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \]

Giải thích: Việc phân tích góc \( A \) thành \( \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \) giúp chúng ta tạo ra các góc \( \frac{A}{2} \) giống như ở vế phải của đẳng thức, từ đó dễ dàng áp dụng công thức cộng ở Bước 1.

Bước 3: Áp dụng công thức cộng và rút gọn biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( A = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \) vào vế trái và áp dụng công thức cộng:

Ta có vế trái (VT):

\[ \sin A \]

Thay \( A = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \), ta được:

\[ \sin \left( \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \right) \]

Áp dụng công thức cộng \(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) với \( x = \frac{A}{2} \) và \( y = \frac{A}{2} \):

\[ \sin \left( \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \right) = \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{A}{2} \]

Quan sát biểu thức trên, chúng ta thấy hai số hạng này giống hệt nhau:

Số hạng thứ nhất là \( \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \)

Số hạng thứ hai là \( \cos \frac{A}{2} \sin \frac{A}{2} \), mà tích thì có tính chất giao hoán, nên \( \cos \frac{A}{2} \sin \frac{A}{2} = \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \).

Do đó, chúng ta có thể cộng chúng lại:

\[ \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \]

Vậy, ta có:

\[ \sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \]

Đây chính là vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh.

Kết luận:

Vậy, đẳng thức \( \sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \) đã được chứng minh.

Đây là một công thức rất quan trọng, thường được gọi là công thức hạ bậc hoặc công thức nhân đôi (nếu chúng ta đặt \( x = \frac{A}{2} \), thì \( A = 2x \), và công thức trở thành \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)). Hãy ghi nhớ thật kỹ công thức này nhé!

Chúc các em học tốt!