Kính chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị, thường gặp trong các kì thi và cũng rất gần gũi với thực tế, đặc biệt là với các bạn yêu thích bóng đá. Bài toán này thuộc chuyên đề Tổ hợp – Xác suất mà chúng ta đã được học.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phân tích bài toán:

Các em hãy đọc kĩ đề bài và cùng thầy phân tích các yếu tố quan trọng:

1. Có 20 đội bóng đá.

2. Thi đấu theo hình thức vòng tròn tính điểm. Điều này có nghĩa là “mỗi đội sẽ gặp nhau 1 lần”.

3. Bài toán yêu cầu chúng ta tính “tổng số trận đấu” cần sắp xếp.

Vậy, mấu chốt ở đây là việc xác định một “trận đấu”.

Một trận đấu bóng đá thì cần có mấy đội hả các em? Đúng rồi, một trận đấu cần 2 đội bóng.

Ví dụ, đội A đấu với đội B. Trận đấu này có khác gì so với đội B đấu với đội A không? Trong bóng đá, khi nói đến một trận đấu, chúng ta chỉ quan tâm đến hai đội tham gia, chứ không quan tâm thứ tự của hai đội đó. Trận “A gặp B” là một và duy nhất, không phân biệt với “B gặp A”.

Điều này gợi cho chúng ta nhớ đến khái niệm nào trong Tổ hợp? Khi chúng ta chọn ra một nhóm các phần tử từ một tập hợp lớn hơn mà KHÔNG QUAN TÂM ĐẾN THỨ TỰ, đó chính là khái niệm TỔ HỢP.

Trong bài toán này:

– Tổng số phần tử (đội bóng) mà chúng ta có là \(n = 20\).

– Mỗi trận đấu được hình thành từ việc chọn ra 2 đội từ 20 đội đó. Tức là, chúng ta chọn 2 phần tử từ tập hợp 20 phần tử, và thứ tự chọn không quan trọng. Vậy, số phần tử được chọn trong mỗi nhóm là \(k = 2\).

Do đó, số trận đấu chính là số tổ hợp chập 2 của 20 phần tử.

Áp dụng công thức Tổ hợp:

Chúng ta đã biết công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Trong đó:

– \(n\) là tổng số phần tử.

– \(k\) là số phần tử được chọn trong mỗi nhóm.

– \(!\) kí hiệu giai thừa (ví dụ: \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)).

Với bài toán của chúng ta, chúng ta có \(n = 20\) và \(k = 2\).

Vậy, số trận đấu cần sắp xếp là \(C_{20}^2\).

Tính toán:

Thay các giá trị \(n=20\) và \(k=2\) vào công thức, chúng ta có:

\[C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!}\]

\[C_{20}^2 = \frac{20!}{2!18!}\]

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển giai thừa để rút gọn biểu thức này. Lưu ý rằng \(20! = 20 \times 19 \times 18!\) và \(2! = 2 \times 1 = 2\).

\[C_{20}^2 = \frac{20 \times 19 \times 18!}{2 \times 1 \times 18!}\]

Chúng ta có thể rút gọn \(18!\) ở cả tử số và mẫu số:

\[C_{20}^2 = \frac{20 \times 19}{2}\]

\[C_{20}^2 = 10 \times 19\]

\[C_{20}^2 = 190\]

Kết luận:

Vậy, ban tổ chức cần sắp xếp tổng cộng 190 trận đấu.

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc phân tích đề bài để xác định đúng là “hoán vị”, “chỉnh hợp” hay “tổ hợp” là vô cùng quan trọng. Với bài toán chọn ra một tập hợp con mà không quan tâm đến thứ tự của các phần tử trong tập hợp con đó, chúng ta sẽ sử dụng công thức Tổ hợp.

Các em có câu hỏi gì không? Hãy chủ động trao đổi với thầy nhé! Chúc các em học tốt!