Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập thú vị liên quan đến công thức nhân đôi trong chương trình Toán lớp 11. Thầy/cô tin rằng với sự tập trung và cách tiếp cận từng bước, các em sẽ nắm vững kiến thức này.

Chúng ta sẽ tìm công thức cho Sin(4a).

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho hàm sin. Công thức này cho phép chúng ta biểu diễn sin của một góc gấp đôi theo sin và cos của góc ban đầu.

Bước 1: Áp dụng công thức nhân đôi cho sin(2x)

Trước hết, chúng ta hãy nhớ lại công thức nhân đôi cho sin:
\( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \)

Bây giờ, chúng ta coi góc 4a như là 2 lần của góc 2a. Tức là, chúng ta sẽ áp dụng công thức nhân đôi với \(x = 2a\).

Do đó, ta có:
\( \sin(4a) = \sin(2 \cdot (2a)) \)

Theo công thức nhân đôi \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), với \(x = 2a\), ta được:
\( \sin(4a) = 2 \sin(2a) \cos(2a) \)

Lý do áp dụng: Chúng ta muốn khai triển \( \sin(4a) \). Việc coi \(4a\) là \(2 \cdot (2a)\) giúp chúng ta có thể sử dụng trực tiếp công thức nhân đôi đã biết.

Bước 2: Khai triển sin(2a) và cos(2a)

Bây giờ, chúng ta cần khai triển các biểu thức \( \sin(2a) \) và \( \cos(2a) \) bằng công thức nhân đôi tương ứng.

Trước hết, ta có công thức nhân đôi cho sin:
\( \sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a) \)

Tiếp theo, ta xem xét công thức nhân đôi cho cos. Có ba dạng công thức nhân đôi cho cos, nhưng để tiện cho việc kết hợp với sin, chúng ta sẽ sử dụng dạng sau:
\( \cos(2a) = \cos^2(a) – \sin^2(a) \)

Lý do áp dụng: Chúng ta đã có \( \sin(4a) \) dưới dạng tích của \( \sin(2a) \) và \( \cos(2a) \). Để biểu diễn \( \sin(4a) \) theo \( \sin(a) \) và \( \cos(a) \), chúng ta cần khai triển các biểu thức \( \sin(2a) \) và \( \cos(2a) \) về dạng chứa \( \sin(a) \) và \( \cos(a) \).

Bước 3: Thay thế vào biểu thức của sin(4a)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các biểu thức đã khai triển ở Bước 2 vào biểu thức \( \sin(4a) = 2 \sin(2a) \cos(2a) \) ở Bước 1.

Ta có:
\( \sin(4a) = 2 \cdot (2 \sin(a) \cos(a)) \cdot (\cos^2(a) – \sin^2(a)) \)

Lý do áp dụng: Đây là bước thay thế các biểu thức đã được khai triển để thu được biểu thức cuối cùng cho \( \sin(4a) \).

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Cuối cùng, chúng ta sẽ nhân các biểu thức lại với nhau để rút gọn.

\( \sin(4a) = 4 \sin(a) \cos(a) (\cos^2(a) – \sin^2(a)) \)

Chúng ta có thể nhân \( 4 \sin(a) \cos(a) \) vào trong ngoặc:
\( \sin(4a) = 4 \sin(a) \cos(a) \cos^2(a) – 4 \sin(a) \cos(a) \sin^2(a) \)

\( \sin(4a) = 4 \sin(a) \cos^3(a) – 4 \sin^3(a) \cos(a) \)

Hoặc, nếu muốn giữ nguyên dạng tích, chúng ta có thể giữ nguyên kết quả ở bước 3.
\( \sin(4a) = 2 \sin(2a) \cos(2a) \)
Và khai triển:
\( \sin(4a) = 2 (2 \sin a \cos a) (\cos^2 a – \sin^2 a) \)
\( \sin(4a) = 4 \sin a \cos a (\cos^2 a – \sin^2 a) \)

Vậy, công thức cho \( \sin(4a) \) là:
\[ \sin(4a) = 4 \sin(a) \cos^3(a) – 4 \sin^3(a) \cos(a) \]
hoặc
\[ \sin(4a) = 4 \sin(a) \cos(a) (\cos^2(a) – \sin^2(a)) \]
hoặc giữ nguyên dạng tích ban đầu sau khi áp dụng công thức nhân đôi lần 1:
\[ \sin(4a) = 2 \sin(2a) \cos(2a) \]

Các em thấy đấy, chỉ cần áp dụng đúng công thức nhân đôi và thực hiện từng bước cẩn thận, chúng ta có thể tìm ra kết quả một cách dễ dàng.

Chúc các em học tốt!