Kính chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác, một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Toán 11 của chúng ta. Bài toán hôm nay là:

\[ \cos^2 3x + \sin^2 2x = 1 \]

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình này, chúng ta nhận thấy rằng có hai hàm số lượng giác với các đối số khác nhau (\(3x\) và \(2x\)) và chúng đang ở dạng bình phương. Một phương pháp hiệu quả cho dạng này là sử dụng công thức hạ bậc để đưa về các hàm cosin hoặc sinin bậc nhất.

Chúng ta nhớ lại các công thức hạ bậc mà chúng ta đã học:

• \( \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \)
• \( \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2\alpha}{2} \)

Áp dụng các công thức này vào phương trình của chúng ta, ta sẽ có:

Bước 1: Hạ bậc các hàm số lượng giác.

Đối với \( \cos^2 3x \): Với \( \alpha = 3x \), thì \( 2\alpha = 2(3x) = 6x \).

Nên, \( \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2} \).

Đối với \( \sin^2 2x \): Với \( \alpha = 2x \), thì \( 2\alpha = 2(2x) = 4x \).

Nên, \( \sin^2 2x = \frac{1 – \cos 4x}{2} \).

Thay thế vào phương trình ban đầu, ta được:

\[ \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 – \cos 4x}{2} = 1 \]

Bước 2: Rút gọn phương trình.

Để loại bỏ mẫu số, chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với 2:

\( (1 + \cos 6x) + (1 – \cos 4x) = 1 \cdot 2 \)

\( 1 + \cos 6x + 1 – \cos 4x = 2 \)

\( 2 + \cos 6x – \cos 4x = 2 \)

Chuyển \(2\) từ vế trái sang vế phải (hoặc trừ \(2\) ở cả hai vế):

\( \cos 6x – \cos 4x = 2 – 2 \)

\[ \cos 6x – \cos 4x = 0 \]

Hay:

\[ \cos 6x = \cos 4x \]

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản \( \cos A = \cos B \).

Chúng ta đã học rằng, phương trình \( \cos A = \cos B \) có các nghiệm tổng quát là:

• \( A = B + k2\pi \)
• \( A = -B + k2\pi \)

Trong đó \( k \) là một số nguyên bất kì ( \( k \in \mathbb{Z} \) ).

Áp dụng vào phương trình \( \cos 6x = \cos 4x \), ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( 6x = 4x + k2\pi \)

Chuyển \(4x\) sang vế trái:

\( 6x – 4x = k2\pi \)

\( 2x = k2\pi \)

Chia cả hai vế cho 2:

\( x = \frac{k2\pi}{2} \)

\[ x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Trường hợp 2: \( 6x = -4x + k2\pi \)

Chuyển \( -4x \) sang vế trái:

\( 6x + 4x = k2\pi \)
<< \( 10x = k2\pi \)
Chia cả hai vế cho 10:

\( x = \frac{k2\pi}{10} \)

\[ x = \frac{k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Bước 4: Kết luận nghiệm.

Vậy, các nghiệm của phương trình đã cho là:

\[ x = k\pi \]

hoặc

\[ x = \frac{k\pi}{5} \]

trong đó \( k \) là một số nguyên bất kì.

Các em lưu ý, khi kết luận nghiệm cần ghi rõ điều kiện của \( k \).

Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững công thức hạ bậc và công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Các em hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!

Chúc các em học tốt!