Thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập biến đổi biểu thức lượng giác này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất, bám sát kiến thức trong Sách giáo khoa Toán 11 của chúng ta.

Để biến đổi biểu thức đã cho, chúng ta cần vận dụng các công thức biến đổi tổng thành tích và hiệu thành tích mà chúng ta đã học.

Bước 1: Nhắc lại công thức cốt lõi

Các em hãy nhớ lại hai công thức rất quan trọng trong chương lượng giác:

– Công thức biến đổi tổng cosin thành tích:
\[ \cos a + \cos b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \]
– Công thức biến đổi hiệu cosin thành tích:
\[ \cos a – \cos b = -2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \]

Bước 2: Áp dụng công thức vào biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng hai công thức trên lần lượt cho tử số và mẫu số của biểu thức.

– Đối với tử số: Ta có \( \cos x + \cos y \).

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta được:
\[ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \]

– Đối với mẫu số: Ta có \( \cos x – \cos y \).

Áp dụng công thức biến đổi hiệu thành tích, ta được:
\[ \cos x – \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \]

Bước 3: Thay thế và rút gọn biểu thức

Bây giờ, chúng ta thay kết quả vừa biến đổi ở Bước 2 vào biểu thức ban đầu:
\[ \frac{\cos x + \cos y}{\cos x – \cos y} = \frac{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{-2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)} \]
Ta thấy cả tử và mẫu đều có thừa số 2, ta có thể rút gọn:
\[ = \frac{\cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{- \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)} \]
Tiếp theo, ta có thể viết lại biểu thức này một cách khéo léo để làm xuất hiện các hàm lượng giác quen thuộc:
\[ = – \left( \frac{\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)} \right) \cdot \left( \frac{\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)} \right) \]

Bước 4: Sử dụng định nghĩa hàm cotang

Các em còn nhớ định nghĩa của hàm cotang chứ? Ta có: \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Áp dụng vào biểu thức trên, ta được:
\[ = – \cot\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot \cot\left(\frac{x-y}{2}\right) \]

Kết luận

Vậy, sau khi biến đổi, ta có kết quả cuối cùng:
\[ \frac{\cos x + \cos y}{\cos x – \cos y} = – \cot\left(\frac{x+y}{2}\right) \cot\left(\frac{x-y}{2}\right) \]

Lưu ý: Biểu thức này có nghĩa khi các mẫu số khác 0, tức là \( \cos x – \cos y \neq 0 \), \( \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \neq 0 \) và \( \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \neq 0 \).

Đây là một dạng bài tập cơ bản giúp các em rèn luyện kỹ năng vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Các em hãy làm lại bài này và các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé.

Chúc các em học tốt