Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về phương trình lượng giác. Bài tập này nằm trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta, và thầy sẽ hướng dẫn các em giải nó một cách chi tiết, từng bước theo đúng tinh thần của Sách giáo khoa.

Nào, chúng ta cùng bắt đầu với bài toán:

cotx – tanx = sinx + cosx

Đây là một phương trình mà các em cần biến đổi để đưa về các dạng cơ bản mà chúng ta đã học.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Chúng ta cần nhớ lại các định nghĩa của hàm cotang và tang.
Hàm cotang (cotx) xác định khi \( \sin x \neq 0 \), tức là \( x \neq k\pi \), với \( k \) là số nguyên.
Hàm tang (tanx) xác định khi \( \cos x \neq 0 \), tức là \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \) là số nguyên.

Kết hợp cả hai điều kiện, phương trình xác định khi \( \sin x \neq 0 \) và \( \cos x \neq 0 \). Điều này tương đương với \( \sin(2x) \neq 0 \), hay \( 2x \neq k\pi \), suy ra \( x \neq \frac{k\pi}{2} \), với \( k \) là số nguyên.

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng lượng giác cơ bản hơn.

Chúng ta sẽ biểu diễn cotx và tanx theo sinx và cosx:
cotx = \( \frac{\cos x}{\sin x} \)
tanx = \( \frac{\sin x}{\cos x} \)

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:
\( \frac{\cos x}{\sin x} – \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + \cos x \)

Để làm mất mẫu số, chúng ta quy đồng vế trái:
\( \frac{\cos^2 x – \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \sin x + \cos x \)

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác quen thuộc:
Công thức hạ bậc: \( \cos^2 x – \sin^2 x = \cos(2x) \)
Công thức nhân đôi: \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \)

Thay các công thức này vào phương trình:
\( \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2} \sin(2x)} = \sin x + \cos x \)
\( \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = \sin x + \cos x \)
\( 2\cot(2x) = \sin x + \cos x \)

Đây là một cách biến đổi, nhưng có vẻ vẫn chưa đưa về dạng dễ giải. Chúng ta hãy quay lại bước quy đồng và xem xét thêm:

\( \frac{\cos^2 x – \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \sin x + \cos x \)

Ta nhận thấy tử số bên trái là hằng đẳng thức \( (\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x) \).
Vậy phương trình trở thành:
\( \frac{(\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x \cos x} = \sin x + \cos x \)

Bây giờ, chúng ta có thể chuyển toàn bộ về một vế để phân tích nhân tử.
\( \frac{(\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x \cos x} – (\sin x + \cos x) = 0 \)

Đặt nhân tử chung \( (\sin x + \cos x) \):
\( (\sin x + \cos x) \left( \frac{\cos x – \sin x}{\sin x \cos x} – 1 \right) = 0 \)

Từ đây, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( \sin x + \cos x = 0 \)
Chia cả hai vế cho \( \cos x \) (vì \( \cos x \neq 0 \) theo điều kiện xác định), ta được:
\( \tan x + 1 = 0 \)
\( \tan x = -1 \)
\( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \), với \( k \) là số nguyên.

Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện xác định \( x \neq \frac{k\pi}{2} \).

Trường hợp 2: \( \frac{\cos x – \sin x}{\sin x \cos x} – 1 = 0 \)
\( \frac{\cos x – \sin x}{\sin x \cos x} = 1 \)
\( \cos x – \sin x = \sin x \cos x \)

Chúng ta có thể đặt \( t = \sin x + \cos x \). Khi đó, \( t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x \).
Suy ra \( \sin x \cos x = \frac{t^2 – 1}{2} \).

Tuy nhiên, phương trình \( \cos x – \sin x = \sin x \cos x \) lại không trực tiếp liên quan đến \( t = \sin x + \cos x \) một cách dễ dàng.

Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác cho phương trình \( \cos x – \sin x = \sin x \cos x \).
Ta có thể biến đổi vế trái về dạng \( R\cos(x+\alpha) \).
\( \cos x – \sin x = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x – \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) \)
\( = \sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) \cos x – \sin(\frac{\pi}{4}) \sin x \right) \)
\( = \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) \)

Vậy phương trình trở thành:
\( \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \sin(2x) \)

Điều này vẫn chưa đơn giản lắm. Chúng ta hãy quay lại phương trình:
\( \cos x – \sin x = \sin x \cos x \)

Nếu chúng ta bình phương hai vế của phương trình này, ta có thể gặp phải nghiệm ngoại lai. Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể thử nghiệm một số giá trị đặc biệt.

Một cách khác để giải \( \cos x – \sin x = \sin x \cos x \) là đặt \( t = \cos x – \sin x \).
Khi đó, \( t^2 = (\cos x – \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x – 2\sin x \cos x = 1 – 2\sin x \cos x \).
Suy ra \( \sin x \cos x = \frac{1 – t^2}{2} \).

Thay vào phương trình \( \cos x – \sin x = \sin x \cos x \), ta có:
\( t = \frac{1 – t^2}{2} \)
\( 2t = 1 – t^2 \)
\( t^2 + 2t – 1 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( t \). Ta giải phương trình này:
\( \Delta = 2^2 – 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8 \)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Các nghiệm của \( t \) là:
\( t_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2} \)
\( t_2 = \frac{-2 – 2\sqrt{2}}{2} = -1 – \sqrt{2} \)

Bây giờ, chúng ta thay \( t \) trở lại:
TH1: \( \cos x – \sin x = -1 + \sqrt{2} \)
Ta có thể viết lại vế trái như đã làm ở trên: \( \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) \).
Vậy: \( \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) = -1 + \sqrt{2} \)
\( \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{-1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} + 2}{2} = 1 – \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Vì \( 0 < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 \) (khoảng \( 1 - 0.707 = 0.293 \)), nên phương trình này có nghiệm. Đặt \( \alpha = \arccos(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \). Khi đó: \( x + \frac{\pi}{4} = \pm \alpha + 2m\pi \), với \( m \) là số nguyên. \( x = -\frac{\pi}{4} \pm \alpha + 2m\pi \) \( x = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2m\pi \), với \( m \) là số nguyên. TH2: \( \cos x - \sin x = -1 - \sqrt{2} \) \( \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) = -1 - \sqrt{2} \) \( \cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{-1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} - 2}{2} = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) Vì \( -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < -1 \) (khoảng \( -1 - 0.707 = -1.707 \)), nên phương trình này vô nghiệm vì giá trị của cosin luôn nằm trong đoạn [-1, 1]. Bước 3: Tổng hợp nghiệm.

Từ Trường hợp 1, ta có các nghiệm: \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \), với \( k \) là số nguyên.

Từ Trường hợp 2 của \( \cos x – \sin x = \sin x \cos x \), ta có các nghiệm:
\( x = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos(1 – \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2m\pi \), với \( m \) là số nguyên.

Các em thấy đó, việc giải phương trình lượng giác đôi khi cần sự linh hoạt trong cách biến đổi và sử dụng các công thức. Điều quan trọng là chúng ta phải nắm vững các công thức và áp dụng chúng một cách logic.

Kiểm tra lại điều kiện xác định:
Tất cả các nghiệm tìm được đều phải thỏa mãn \( x \neq \frac{k\pi}{2} \).
Với nghiệm \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \), chúng ta kiểm tra:
Nếu \( k \) chẵn, \( k=2n \), \( x = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi \). \( \sin x = \sin(-\frac{\pi}{4}) \neq 0 \), \( \cos x = \cos(-\frac{\pi}{4}) \neq 0 \).
Nếu \( k \) lẻ, \( k=2n+1 \), \( x = -\frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \). \( \sin x = \sin(\frac{3\pi}{4}) \neq 0 \), \( \cos x = \cos(\frac{3\pi}{4}) \neq 0 \).
Các nghiệm này đều hợp lệ.

Đối với nghiệm \( x = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos(1 – \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2m\pi \), việc kiểm tra trực tiếp có thể phức tạp hơn. Tuy nhiên, nếu các em theo dõi quá trình biến đổi, chúng ta đã đi từ phương trình ban đầu đến các trường hợp. Khi chúng ta bình phương để đưa về phương trình bậc hai cho \( t \), chúng ta cần lưu ý khả năng nghiệm ngoại lai. Tuy nhiên, trong cách tiếp cận dùng \( t = \cos x – \sin x \), chúng ta đã giải phương trình \( t = \frac{1-t^2}{2} \) và sau đó giải ngược lại \( \cos x – \sin x = t \). Chúng ta đã loại trường hợp \( t_2 < -1 \) vì cosin không thể nhận giá trị này. Đối với \( t_1 = -1+\sqrt{2} \), ta có \( \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \), là một giá trị hợp lệ. Do đó, các nghiệm này được coi là nghiệm của phương trình ban đầu. Vậy, tập nghiệm của phương trình là: \( S = \{-\frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \cup \{-\frac{\pi}{4} \pm \arccos(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2m\pi \mid m \in \mathbb{Z}\} \) Đây là một bài toán đòi hỏi sự kiên nhẫn và kiến thức vững vàng về các công thức lượng giác. Các em hãy xem lại từng bước và tự mình thực hành lại nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!