Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu một bài toán rất hay và quan trọng trong chương trình Toán 9 của mình, đó là điều kiện để một đường thẳng tiếp xúc với một parabol.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ lại kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số và cách xác định số nghiệm của phương trình bậc hai.

Thông thường, trong chương trình Toán lớp 9, chúng ta xét đường thẳng (d) có dạng \(y = mx + n\) và parabol (P) có dạng \(y = ax^2\) (với \(a \ne 0\)).

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào các bước cụ thể nhé!

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

Để tìm các điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P), chúng ta cần tìm các điểm mà tại đó giá trị \(y\) của chúng bằng nhau. Tức là, chúng ta sẽ cho hai vế phải của phương trình bằng nhau:

\[ax^2 = mx + n\]

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, ta được một phương trình bậc hai có dạng tổng quát:

\[ax^2 – mx – n = 0 \quad (* )\]

Phương trình \((*)\) này được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Nghiệm của phương trình này chính là hoành độ của các điểm giao điểm.

Bước 2: Nắm vững điều kiện tiếp xúc

Các em hãy nhớ rằng, đường thẳng (d) được gọi là tiếp xúc với parabol (P) khi và chỉ khi chúng có duy nhất một điểm chung.

Điều này có nghĩa là, phương trình hoành độ giao điểm \((*)\) phải có duy nhất một nghiệm (còn gọi là nghiệm kép).

Bước 3: Áp dụng điều kiện về biệt thức Delta (\(\Delta\)) cho phương trình bậc hai

Chúng ta đã biết, một phương trình bậc hai có dạng \(Ax^2 + Bx + C = 0\) sẽ có duy nhất một nghiệm (nghiệm kép) khi và chỉ khi biệt thức Delta của nó bằng 0, tức là \(\Delta = B^2 – 4AC = 0\).

Quay trở lại với phương trình \((*)\) của chúng ta: \(ax^2 – mx – n = 0\).

Hãy xác định các hệ số A, B, C tương ứng:

A = \(a\)

B = \(-m\)

C = \(-n\)

Áp dụng công thức biệt thức Delta, ta có:

\[\Delta = (-m)^2 – 4 \cdot (a) \cdot (-n)\]

\[\Delta = m^2 + 4an\]

Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P), chúng ta cần cho \(\Delta = 0\).

Vậy điều kiện cần tìm là:

\[m^2 + 4an = 0\]

Tóm tắt:

Vậy, đường thẳng (d) có phương trình \(y = mx + n\) tiếp xúc với parabol (P) có phương trình \(y = ax^2\) (với \(a \ne 0\)) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng có duy nhất một nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức \(\Delta\) của phương trình bậc hai tương ứng bằng 0.

Cụ thể, điều kiện là:

\[m^2 + 4an = 0\]

Khi giải một bài toán cụ thể, các em chỉ cần thay các giá trị \(a, m, n\) tương ứng vào điều kiện này là sẽ tìm được yêu cầu của đề bài.

Thầy hy vọng rằng qua phần trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách để xác định khi nào một đường thẳng tiếp xúc với parabol. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức này nhé! Chúc các em học tốt!