Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy rất vui khi được cùng các em giải một bài toán thực tế về hình học, một dạng bài thường gặp trong các kì thi. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một nhé.

Phân tích đề bài và Kế hoạch giải:
Bài toán cho chúng ta biết một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi ban đầu và thông tin về sự thay đổi của chiều dài, chiều rộng dẫn đến sự thay đổi của diện tích. Mục tiêu của chúng ta là tính diện tích ban đầu của mảnh vườn.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Gọi ẩn số cho chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn.
2. Lập hệ phương trình dựa trên các dữ kiện đã cho.
3. Giải hệ phương trình để tìm ra chiều dài và chiều rộng ban đầu.
4. Kiểm tra điều kiện của các ẩn số.
5. Tính diện tích ban đầu của mảnh vườn.

Bây giờ, chúng ta hãy bắt tay vào giải chi tiết nhé!

Bài giải:

Bước 1: Gọi các ẩn số và đặt điều kiện
Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là \(x\) (mét).
Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là \(y\) (mét).
Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\). Vì là hình chữ nhật, thường thì chiều dài lớn hơn hoặc bằng chiều rộng nên ta có thể thêm điều kiện \(x \ge y\).

Bước 2: Lập phương trình từ các dữ kiện đề bài

Dữ kiện 1: “một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100m”
Công thức tính chu vi hình chữ nhật là \(2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})\).
Vậy ta có phương trình thứ nhất:
\[ 2 \times (x + y) = 100 \]
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
\[ x + y = 50 \quad (1) \]

Dữ kiện 2: “nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích giảm 2m²”
– Chiều dài mới là: \(x – 4\) (mét)
– Chiều rộng mới là: \(y + 3\) (mét)
– Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: \(S_{\text{ban đầu}} = x \times y\) (m²)
– Diện tích sau khi thay đổi là: \(S_{\text{mới}} = (x – 4) \times (y + 3)\) (m²)
– Vì diện tích giảm 2m², nên ta có phương trình:
\[ S_{\text{ban đầu}} – S_{\text{mới}} = 2 \]
Thay các biểu thức vào, ta được:
\[ xy – (x – 4)(y + 3) = 2 \]
Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn phương trình này:
\[ xy – (xy + 3x – 4y – 12) = 2 \]
Phá ngoặc (chú ý đổi dấu các hạng tử bên trong ngoặc):
\[ xy – xy – 3x + 4y + 12 = 2 \]
Rút gọn các hạng tử giống nhau:
\[ -3x + 4y + 12 = 2 \]
Chuyển hằng số sang vế phải:
\[ -3x + 4y = 2 – 12 \]
\[ -3x + 4y = -10 \quad (2) \]

Bước 3: Giải hệ phương trình
Chúng ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
\[ \begin{cases} x + y = 50 \quad (1) \\ -3x + 4y = -10 \quad (2) \end{cases} \]
Từ phương trình (1), chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):
\[ y = 50 – x \]
Thay biểu thức của \(y\) vào phương trình (2):
\[ -3x + 4(50 – x) = -10 \]
Thực hiện phép nhân và khai triển:
\[ -3x + 200 – 4x = -10 \]
Gộp các hạng tử chứa \(x\):
\[ (-3x – 4x) + 200 = -10 \]
\[ -7x + 200 = -10 \]
Chuyển hằng số 200 sang vế phải:
\[ -7x = -10 – 200 \]
\[ -7x = -210 \]
Tìm \(x\):
\[ x = \frac{-210}{-7} \]
\[ x = 30 \]
Bây giờ, thay giá trị của \(x = 30\) vào phương trình \(y = 50 – x\) để tìm \(y\):
\[ y = 50 – 30 \]
\[ y = 20 \]

Bước 4: Kiểm tra điều kiện
Chúng ta tìm được \(x = 30\) (mét) và \(y = 20\) (mét).
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện \(x > 0\), \(y > 0\). Ngoài ra, \(x = 30 \text{m} \ge y = 20 \text{m}\), điều này hợp lí với chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật.

Bước 5: Tính diện tích ban đầu của mảnh vườn
Diện tích ban đầu của mảnh vườn là \(S_{\text{ban đầu}} = x \times y\).
\[ S_{\text{ban đầu}} = 30 \times 20 \]
\[ S_{\text{ban đầu}} = 600 \]
Vậy, diện tích ban đầu của mảnh vườn là 600m².

Kiểm tra lại (Không bắt buộc, nhưng rất nên làm để chắc chắn):
– Chu vi ban đầu: \(2 \times (30 + 20) = 2 \times 50 = 100\)m (Đúng).
– Diện tích ban đầu: \(30 \times 20 = 600\)m².
– Chiều dài mới: \(30 – 4 = 26\)m.
– Chiều rộng mới: \(20 + 3 = 23\)m.
– Diện tích mới: \(26 \times 23 = 598\)m².
– Diện tích giảm: \(600 – 598 = 2\)m² (Đúng).
Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, vậy kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:
Vậy, diện tích của mảnh vườn là 600 mét vuông.

Thầy hy vọng bài giải này đã giúp các em hiểu rõ cách phân tích và giải quyết bài toán một cách chi tiết và logic. Hãy luôn luyện tập để nắm vững kiến thức nhé!